两点生成曲线

引言：

看了标题的人可能会有这样的反应：两点不是能确定无限条曲线吗，这不是扯淡吗。。其实现在的需求是这样的：在一个游戏里，我们需要根据起点和落点生成一条看上去合理的曲线运动轨迹。在我的想象中，它至少应该是往近处抛弧度小，往远处抛弧度大的这样一个表现。于是我设计了如下曲线生成方案，给游戏客户端那边去用。

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算法如下：

1.通过起点终点，算出两点距离。用这个距离根据配置换算出一个圆心角a
2.用起点，终点，圆心角a确定一个圆o,取o与通过中点（（起点+终点）/2）的竖线的上方的交点，作为参考点
3.用起点，终点，参考点生成曲线（矩阵，拉格朗日插值，高斯消元都行）
4.算法示意图

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算法解析：

首先两点是无法确定曲线的，这时候需要引入第三个点，这个第三个点的表现直接影响到曲线的轨迹表现，所以我在设计的时候将输入的起点终点放到一个圆上，然后第三个点在两点构成的弧上取，这样我可以通过控制圆的大小来间接控制曲线的弧度。
然后圆的大小怎么控制呢，两点距离固定了，我们可以控制两点和圆心连线构成的圆心角大小来控制。所以我设计的转换方式是:

max_distance = 100.0
angle = [30, 160]
def getAngle(distance):
    return (1 - distance / max_distance) * (angle[1] - angle[0]) + angle[0]

给定配置一个最远距离和圆心角范围，距离越远，圆心角越小，这样出来的参考点就离起点终点连线的线段越远。最终表现出来曲线更陡峭，而且这个程度也能通过最远距离和圆心角范围手动调参。
接下来，为什么我要取过中点的直线和圆的交点作为参考点呢。这是因为为了防止出现曲线往一定倾斜角度歪（事后想想是多余的，因为后面我用拉格朗日插值求抛物线方程，既然能求出来，那肯定不会出现歪的，毕竟这是函数的定义，一个x对应一个y）
接下来，我们有三个点了，我们就能选择拟合的函数模型了，我最初其实是选择了抛物线的，考虑问题都以抛物线来考虑。但是在写blog的时候才发现一些逻辑上的BUG，这个放后面总结。最简洁的姿势肯定是用矩阵求y=a*x^2+b*x+c里的abc，其次是用拉格朗日插值求（写起来相对复杂，运算量也相对大一点点，但是不需要矩阵运算支持，只需要基础的四则运算，移植性强），再者就是直接推出a,b,c关于三个点的式子。综合考虑下来，我选择的是拉格朗日插值法。

具体代码：

为了快速验证我的想法，我用py一边查API一边把我的想法实现了出来，代码如下：

# coding=utf-8#
import matplotlib as mpl
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.interpolate import lagrange