协方差矩阵的计算及意义

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一、首先看一个比较简洁明了的协方差计算介绍：

1. 协方差定义
X、Y 是两个随机变量，X、Y 的协方差 cov(X, Y) 定义为：

其中，

2. 协方差矩阵定义
矩阵中的数据按行排列与按列排列求出的协方差矩阵是不同的，这里默认数据是按行排列。即每一行是一个observation(or sample)，那么每一列就是一个随机变量。

协方差矩阵：

协方差矩阵的维度等于随机变量的个数，即每一个 observation 的维度。在某些场合前边也会出现 1 / m，而不是 1 / (m - 1).

3. 求解协方差矩阵的步骤
举个例子，矩阵 X 按行排列：

1. 求每个维度的平均值

2. 将 X 的每一列减去平均值

其中：

3. 计算协方差矩阵

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作者：Rise_1024 
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二、再来看一下协方差矩阵的意义：

协方差代表的意义是什么? 

在概率论中，两个随机变量 X 与 Y 之间相互关系，大致有下列3种情况：

 

 

情况一,如上, 当 X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有： X 越大  Y 也越大， X 越小  Y 也越小，这种情况，我们称为“正相关”。

 

情况二, 如上图, 当X, Y 的联合分布像上图那样时，我们可以看出，大致上有：X 越大Y 反而越小，X 越小 Y 反而越大，这种情况，我们称为“负相关”。

情况三,如上图, 当X, Y  的联合分布像上图那样时，我们可以看出：既不是X  越大Y 也越大，也不是 X 越大 Y 反而越小，这种情况我们称为“不相关”。

 

 

怎样将这3种相关情况，用一个简单的数字表达出来呢？

在图中的区域（1）中，有 X>EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；

在图中的区域（2）中，有 X<EX ，Y-EY>0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0；

在图中的区域（3）中，有 X<EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)>0；

在图中的区域（4）中，有 X>EX ，Y-EY<0 ，所以(X-EX)(Y-EY)<0。

当X 与Y 正相关时，它们的分布大部分在区域（1）和（3）中，小部分在区域（2）和（4）中，所以平均来说，有E(X-EX)(Y-EY)>0 。

当 X与 Y负相关时，它们的分布大部分在区域（2）和（4）中，小部分在区域（1）和（3）中，所以平均来说，有(X-EX)(Y-EY)<0 。

当 X与 Y不相关时，它们在区域（1）和（3）中的分布，与在区域（2）和（4）中的分布几乎一样多，所以平均来说，有(X-EX)(Y-EY)=0 。

所以，我们可以定义一个表示X, Y 相互关系的数字特征，也就是协方差

cov(X, Y) = E(X-EX)(Y-EY)

当 cov(X, Y)>0时，表明 X与Y 正相关；

当 cov(X, Y)<0时，表明X与Y负相关；

当 cov(X, Y)=0时，表明X与Y不相关。

这就是协方差的意义。

 

三、此部分进行更系统的说明：

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协方差的定义

对于一般的分布，直接代入E(X)之类的就可以计算出来了，但真给你一个具体数值的分布，要计算协方差矩阵，根据这个公式来计算，还真不容易反应过来。网上值得参考的资料也不多，这里用一个例子说明协方差矩阵是怎么计算出来的吧。

记住，X、Y是一个列向量，它表示了每种情况下每个样本可能出现的数。比如给定

则X表示x轴可能出现的数，Y表示y轴可能出现的。注意这里是关键，给定了4个样本，每个样本都是二维的，所以只可能有X和Y两种维度。所以

用中文来描述，就是：

协方差(i,j)=（第i列的所有元素-第i列的均值）*（第j列的所有元素-第j列的均值）

这里只有X,Y两列，所以得到的协方差矩阵是2x2的矩阵，下面分别求出每一个元素：

        

所以，按照定义，给定的4个二维样本的协方差矩阵为：

用matlab计算这个例子

z=[1,2;3,6;4,2;5,2]

cov(z)

ans =

    2.9167   -0.3333

   -0.3333    4.0000

可以看出，matlab计算协方差过程中还将元素统一缩小了3倍。所以，协方差的matlab计算公式为：

    协方差(i,j)=（第i列所有元素-第i列均值）*（第j列所有元素-第j列均值）/（样本数-1）

       下面在给出一个4维3样本的实例，注意4维样本与符号X,Y就没有关系了，X,Y表示两维的，4维就直接套用计算公式，不用X,Y那么具有迷惑性的表达了。

        

（3）与matlab计算验证

                     Z=[1 2 3 4;3 4 1 2;2 3 1 4]

                     cov(Z)

                     ans =

                          1.0000    1.0000   -1.0000   -1.0000

                          1.0000    1.0000   -1.0000   -1.0000

                         -1.0000   -1.0000    1.3333    0.6667

                          -1.0000   -1.0000    0.6667    1.3333

       可知该计算方法是正确的。我们还可以看出，协方差矩阵都是方阵，它的维度与样本维度有关（相等）。参考2中还给出了计算协方差矩阵的源代码，非常简洁易懂，在此感谢一下!

 

参考：

[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Covariance_matrix

[2] http://www.cnblogs.com/cvlabs/archive/2010/05/08/1730319.html
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作者：ybdesire 
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