CCPC-Wannafly Winter Camp Day7 D-二次函数

题目描述

给定三个二次函数
$$\begin{array}{c}f(x)=x^2+a_{1}x+b_1,g(x)=x^2+a_{2}x+b_2,h(x)=x^2+a_{3}x+b_3\end{array}$$

你需要找三个整数 $x_1,x_2,x_3$使得$f(x_1),g(x_2),h(x_3)$ 这三个数中至少有两个数相同

输入描述

第一行一个正整数 T 表示数据组数(1≤T≤104)

接下来 T 行，每行三个六个整数 ，保证每个数的绝对值都小于等于 10^4

输出描述

输出 T 行，每行三个整数 要求 ≤10^18

样例输入 1

1
1 1 1 2 1 3

样例输出 1

-2 0 -1

题意

需要找到在不同二次函数上且横坐标不同纵坐标相同的两个整数点，说白了就是找到整数对$(x_1,y),(x_2,y),x_1!=x_2$,使以下任意式子成立即可
使得
$$\begin{array}{c}{x}_1^2+a_{1}x+b_1=x_2^2+a_2{x}_2+b_2\\ x_1^2+a_{1}x+b_1=x_2^2+a_3{x}_2+b_3\\ x_1^2+a_{2}x+b_2=x_2^2+a_3{x}_2+b_3\end{array}$$

第一步首先要满足在二次函数上的点（x，y）要是整数，$y=x^2+ax+b$，可见由整数x得到的y必然也是整数，但是要满足的是y值相等，所以写为反函数形式 $x=\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b+4y}}{2}$

所以很显然，只需要把选择y值代入，即可得到不同的x。

第一个问题：需要保证$b^2-4ac+4ay>0$方程才有解，但是很可能某两个函数没有一个y值能够保证都有解，也就是说两个二次函数开口朝向不同并且在y轴投影上不重复。但是题目给出了三个二次函数，就保证了存在解。

第二个问题：需要保证$\frac{-a\pm \sqrt{a^2-4b+4y}}{2}$值是整数，也就需要$\sqrt{a^2-4b+4y}$是个整数，而且和a还必须同奇偶性，才能保证最终是整数。所以问题就转化为了找到y值使得$a_1^2-4b_1+4y$,$a_2^2-4b_2+4y$同时为一个平方数（以前两个函数为例）。这个问题当然不能穷举，首先设

$$\Delta =a^2-4b$$

则设$${\Delta }_1+4y=A^2，{\Delta }_2+4y=B^2$$
我们知道平方差公式
$$A^2-B^2=(A-B)(A+B)={\Delta }_1-{\Delta }_2=K\cdots \cdots (1)$$
因为${\Delta }_1,{\Delta }_2$都是已知的，所以$K$值可直接算出，由（1）式可知，$|A-B|,|A+B|$都为$K$的因子，所以就转换为了找到$|K|$的因子，当然因子也是要符合一定条件的，为保证$A，B$都是整数，所以$|A-B|,|A+B|$必须要有相同的奇偶性。即分解$K$为两数乘积，保证两数具有相同奇偶性，然后算出A，B后还需要判断A，B与a是否具有相同奇偶性。如都具相同奇偶性，则答案就得出了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mmax=1e4+1000;
int a[3][2];
//ll in[mmax];
ll ans[3];
ll x,y;
bool judge(int a,int a1,int a2,int flag) 
{
    int kk=sqrt(a);
    for(int i=1; i<=kk; i++)
    {
        if(a%i==0)
        {
            if((a/i+i)%2==0)
            {
                x=(a/i+i)/2;
                y=(a/i-i)/2;
                //cout<<x<<" "<<y<<"??"<<a1<<" "<<a2<<endl;
                if(flag&&(x-a1)%2==0&&(y-a2)%2==0)
                    return 1;
                else if(flag==0&&(y-a1)%2==0&&(x-a2)%2==0)
                    return 1;
            }
        }
    }
    return 0;
}
int main()
{
    //for(int i=0; i<mmax; i++)
     //   in[i]=i*i;
    int t;
    scanf("%d",&t);
    ll tmp1,tmp2;
    while(t--)
    {
        int flag=0;
        memset(ans,0,sizeof(ans));
        for(int i=0; i<3; i++)
        {
           // a[i][0]=rand()%1000;
            //a[i][1]=rand()%1000;
           // cout<<a[i][0]<<" "<<a[i][1]<<" ";
            scanf("%d%d",&a[i][0],&a[i][1]);
        }
        //cout<<endl;
        for(int i=0; i<3; i++)
        {
            for(int j=i+1; j<3; j++)
            {
                tmp1=a[i][0]*a[i][0]-4*a[i][1]; 
                tmp2=a[j][0]*a[j][0]-4*a[j][1];
                if(tmp1==tmp2)
                {
                    //cout<<"???"<<endl;
                    if(tmp1<0)tmp1=0;
                    ll kk=(ll)sqrt(tmp1)+1;
                    if((kk-a[i][0])%2==0&&(kk-a[j][0])%2==0)
                    {
                        ans[i]=(kk-a[i][0])/2;
                        ans[j]=(kk-a[j][0])/2;
                        flag=1;
                    }
                    else if((kk-a[i][0]+1)%2==0&&(kk-a[j][0]+1)%2==0)
                    {
                        ans[i]=(kk-a[i][0]+1)/2;
                        ans[j]=(kk-a[j][0]+1)/2;
                        flag=1;
                    }
                    break;
                }
                if(judge(max(tmp1-tmp2,tmp2-tmp1),a[i][0],a[j][0],tmp1>tmp2))
                {
                   // cout<<max(tmp1-tmp2,tmp2-tmp1)<<" "<<x<<"　"<<y<< endl;
                    if(tmp1>tmp2)
                    {
                        ans[i]=(x-a[i][0])/2;
                        ans[j]=(y-a[j][0])/2;
                    }
                    else
                    {
                        ans[i]=(y-a[i][0])/2;
                        ans[j]=(x-a[j][0])/2;
                    }
                    flag=1;
                    break;
                }
            }
            if(flag)
                break;
        }
        printf("%lld %lld %lld\n",ans[0],ans[1],ans[2]);
    }
    return 0;
}