POJ 3233 Matrix Power Series（矩阵快速幂）

思路：看k的范围显然不能直接遍历来加，留意到S有一个性质

           当k为偶数的时候 Sk = A+A^2+....A^(K/2)+A^(K/2)*(A+A^2+....A^(k/2))

           当k为奇数的时候 Sk = A+A^2+....A^(K/2)+A^((K+1)/2) + A^((K+1)/2)*(A+A^2....A^(K/2))

           显然符合递归性质，那么就可以二分地来求这个和了，求和的时候就从O(k)变为了O(log(k))

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,mod;
struct Mat
{
	int a[31][31];   //矩阵大小
}p;
Mat mul(Mat a,Mat b)
{
	Mat t;
	memset(t.a,0,sizeof(t.a));
	for(int i = 0;i<n;i++)
	{
		for(int k = 0;k<n;k++)
		{
			if(a.a[i][k])
              for(int j = 0;j<n;j++)
			  {
				  t.a[i][j]+=a.a[i][k]*b.a[k][j];
				  if(t.a[i][j]>=mod)
					  t.a[i][j]%=mod;
			  }
		}
	}
	return t;
}
Mat expo(Mat p,int k)
{
	if(k==1)return p;
	Mat e;
	memset(e.a,0,sizeof(e.a));
	for(int i = 0;i<n;i++)   //初始化单位矩阵  
		e.a[i][i]=1;
    if(k==0)return e;
	while(k)
	{
		if(k&1)
			e = mul(p,e);
		p = mul(p,p);
		k>>=1;
	}
	return e;
}
Mat add(Mat a,Mat b)
{
	Mat t;
	memset(t.a,0,sizeof(t.a));
	for(int i = 0;i<n;i++)
		for(int j = 0;j<n;j++)
            t.a[i][j]=(a.a[i][j]+b.a[i][j])%mod;
	return t;
}
Mat sum(int k)
{
	if(k==1)
		return p;
	if(k&1)
		return add(sum(k-1),expo(p,k));
	else
	{
		Mat tmp = expo(p,k/2);
		Mat temp = sum(k/2);
		return add(temp,mul(tmp,temp));
	}
}
int main()
{
	int k;
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&mod);
	for(int i = 0;i<n;i++)
		for(int j = 0;j<n;j++)
			scanf("%d",&p.a[i][j]);
	Mat ans;
	memset(ans.a,0,sizeof(ans.a));
	ans = sum(k);
	for(int i = 0;i<n;i++,printf("\n"))
		for(int j = 0;j<n;j++)
			printf("%d ",ans.a[i][j]);
}

Description

Given a n × n matrix A and a positive integer k, find the sum S = A + A² + A³ + … + A^k.

Input

The input contains exactly one test case. The first line of input contains three positive integers n (n ≤ 30), k (k ≤ 10⁹) and m (m < 10⁴). Then follow n lines each containing n nonnegative integers below 32,768, giving A’s elements in row-major order.

Output

Output the elements of S modulo m in the same way as A is given.

Sample Input

2 2 4
0 1
1 1

Sample Output

1 2
2 3