算法笔记：区间搜索问题

区间搜索问题可以细分为两类

1. 给定数组，在所有的子数组里寻找满足某种条件的子数组
2. 给定数组，和子数组的尺寸，从所有尺寸相符的子数组里提取一组值。

第一类区间搜索问题代码框架

暴力穷举：

result[]
left
right
eigenvalue
for(left in range(n)){
    for(right in range(left, n)){
        eigenvalue = Eigen(array, left, right);
        if(MeetCondition(eigenvalue))
            result.append((left, right))
    }
}

解释：暴力解法让left从数组左边界连续增加到数组右边界，让right从left开始连续增加，到达数组右边界后回退到left重新开始连续递增。这种解法穷尽了left和right的所有可能取值然后从中挑选满足条件的子数组。算法时间复杂度O(n^2).

示例：

优化解：

result[]
left = right
eigenvalue
while(left < n){
    while(condition_2){
        eigenvalue = Eigen(array, left, right)
        if(MeetCondition(eigenvalue)) 
            result.append((left, right))
        right++
    }
    while(condition_1){
        left++;
    }
}

解释：这个解法相比暴力解法有了一定程度的优化，因为left和right都只增不减，暴力解法中right达到数组右侧边界以后要回退到left重新递增。算法时间复杂度O(n*k)。

示例：

最优解：

result[]
left = right
eigenvalue
while(left < n){
    while(condition){
        eigenvalue = Eigen(array, left, right)
        if(MeetCondition(eigenvalue)) 
            result.append((left, right))
        right++
    }
    left = right
}

解释：最优解法和优化解法的区别在于left不再连续的更新而是阶跃式的更新，这使得数组每一个元素仅被访问一次。因此时间复杂度为O(n)。

示例：

总结：第一类区间搜索问题的的关键如何利用子数组选择条件尽可能优化left和right的更新。这需要仔细研究子数组选择条件的性质。

第二类区间搜索问题框架

暴力穷举：

result[]
left
for(left in range(n-w))
    value = f(array, left, left+w)
    result.append(value)

解释：暴力解法穷举所有子区间并逐个计算击子区间的特征值，时间复杂度为O(n*k)

示例：

优化解：

result[]
right
deque
for(right in range(n))
    if(condition_1)
        deque.push_back(right)
    while(condition_2)
        deque.pop_back();
    while(condition_3)
        deque.pop_front();
    value = deque.front();
    result.append(value);

解释：优化解比暴力解法优化的地方在于用一个双端队列记录下上一个窗口的信息，利用这些信息来更新下一个窗口的特征值，省去了每次都去重新计算新窗口特征值。从而提升性能，时间复杂度O(n)。而这个算法的难点在于确定这个双端队列应该保存什么信息以及如何维护这个双端队列？这需要仔细研究题目所求特征值的性质。

示例：

 

写得不够详细，未完待续。。。。。。。。