背包问题-练习题

目录

知识点 

一、01背包 

核心代码：

 二、完全背包

习题

一：01背包

1、装箱问题 

2、采药

3、hdu - 2602 - Bone Collector 

4、poj - 3624 - Charm Bracelet

5、hdu - 2564 - 饭卡

 二、完全背包

第一题：HDU- 1114 - Piggy-Bank

---

初学背包问题，综合了很多博客的文章，总结了一下知识点和基础的习题。 

知识点 

一、01背包 

有n件物品（每种物品都只有一件），

w[i]表示物品的重量，v[i]表示物品的价值，

现有一个容量为V的背包，

应该如何选物品使得书包内装的物品的value之和最大呢？

例：有编号分别为a,b,c,d,e的五件物品，它们的重量分别是2,2,6,5,4，它们的价值分别是6,3,5,4,6，每件物品数量只有一个，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？  

迭代数组：

name	weight	value	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	6	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6	6
b	2	3	0	6	6	9	9	9	9	9	9	9	9
c	6	5	0	0	0	0	0	0	9	9	11	11	14
d	5	4	0	0	0	0	0	4	9	9	11	11	14
e	4	6	0	0	0	0	6	6	9	9	11	11	15

核心代码：

① 二维数组：时间复杂度和空间复杂度都是O(n*V）

对于第  个物品，有选和不选两种情况

表示在容量为  的情况下选取  个物品的最大 value 值。

 核心代码：

for (i = 1; i <= n; i++)
    for (j = w[i]; j <= V; j++)
        dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + v[i]);

② 一维数组：时间复杂度O(n*V),空间复杂度O(V)

 表示 背包容量 为 j 时，能够包容的最大 value 值。

核心代码：

for (i = 1; i <= n; i++)
    for (j = V; j >= w[i]; j--)
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);

 

 

学习博客：

01背包问题 二维解法 及 输出路径：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_40372617/article/details/102872786

一维01背包：为什么可行？为什么逆序？https://blog.youkuaiyun.com/weixin_40372617/article/details/102872786 

                                                                 https://blog.youkuaiyun.com/Cassie_zkq/article/details/82944880

 二、完全背包

有n件物品（每种物品有无数件），

w[i]表示物品的重量，v[i]表示物品的价值，

现有一个容量为V的背包，

应该如何选物品使得书包内装的物品的value之和最大呢？

例：有编号分别为a,b,c,d的四件物品，它们的重量分别是2,3,4,7，它们的价值分别是1,3,5,9，每件物品数量无限个，现在给你个承重为10的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？

迭代数组：

name	weight	value	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
a	2	1	0	0	1	1	2	2	3	3	4	4	5
b	3	3	0	0	1	3	3	4	6	6	7	9	9
c	4	5	0	0	1	3	5	5	6	8	10	10	11
d	7	9	0	0	1	3	5	5	6	9	10	10	12

核心代码：

for (i = 1; i <= n; i++)
    for (j = w[i]; j <= V; j++)
        dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + v[i]);

学习博客：动态规划之背包问题（二）：完全背包问题：https://blog.youkuaiyun.com/siyu1993/article/details/52858940 

                  背包问题详解：01背包、完全背包、多重背包：https://blog.youkuaiyun.com/na_beginning/article/details/62884939

三、多重背包 

有n件物品（每种物品有 num[i] 件），

w[i]表示物品的重量，v[i]表示物品的价值，

现有一个容量为V的背包，

应该如何选物品使得书包内装的物品的value之和最大呢？

例：有编号分别为a,b,c的三件物品，它们的重量分别是1，2，2，它们的价值分别是6，10，20，他们的数目分别是10，5，2，现在给你个承重为 8 的背包，如何让背包里装入的物品具有最大的价值总和？ 

解题思路：

作为一个新问题考虑，由于每个物品多了数目限制，因此初始化和递推公式都需要更改一下。初始化时，只考虑一件物品a时，f[1][j] = min{num[1], j/weight[1]}。 计算考虑i件物品承重限制为y时最大价值f[i][y]时，递推公式考虑两种情况，要么第 i 件物品一件也不放，就是f[i-1][y], 要么第 i 件物品放 k 件，其中 1 <= k <= (y/weight[i])，考虑这一共 k+1 种情况取其中的最大价值即为f[i][y]的值，即f[i][y] = max{f[i-1][y], (f[i-1][y-k*weight[i]]+k*value[i])}。 这里为什么不能像完全背包一样直接考虑f[i][y-weight[i]]+value[i]呢？因为这样不容易判断第 i 件物品的个数是否超过限制数量 num[i]。

name	weight	value	num	0	1	2	3	4	5	6	7	8
a	1	6	10	0	6	12	18	24	30	36	42	48
b	2	10	5	0	6	12	18	24	30	36	42	48
c	2	20	2	0	6	20	26	40	46	52	58	64

 

习题

一：01背包

1、装箱问题 

模板题，难度：★☆☆☆☆

时间限制 : 1.000 sec  内存限制 : 128 MB

【问题描述】
有一个箱子的容量为V（V为正整数，且满足0≤V≤20000），同时有n件物品（0的体积值为正整数。
要求从n件物品中，选取若干装入箱内，使箱子的剩余空间最小。
输入：1行整数，第1个数表示箱子的容量，第2个数表示有n件物品，后面n个数分别表示这n件
物品各自的体积。
输出：1个整数，表示箱子剩余空间。
【输入输出样例】
输入：

24 6 8 3 12 7 9 7

输出：

0

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
int main()
{
    int v, n, a[200005], dp[200005];
    cin >> v >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cin >> a[i];

    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 1; i <= n; i++) //遍历物品
        for (int j = v; j >= a[i]; j--) //倒序遍历箱子容量
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - a[i]] + a[i]);

    int ans=v-dp[v];
    cout<<ans<<endl;
    return 0;
}

2、采药

模板题，难度：★☆☆☆☆

时间限制 : 1.000 sec  内存限制 : 128 MB

【题目描述】

辰辰是个天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。

医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。

医 师把他带到一个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间， 在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。”

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

 【输入 】

第一行有两个整数T（1 <= T <= 1000）和M（1 <= M <= 100），用一个空格隔开，

T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。

接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的整 数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

【输出】

一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

【样例输入】

70 3
71 100
69 1
1 2

【样例输出】

3

【数据规模】

   对于30%的数据，M <= 10；

   对于全部的数据，M <= 100。

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
int main()
{
    int t, m, time[1005], value[1005], dp[1005] = {0};
    cin >> t >> m;
    for (int i = 1; i <= m; i++)
        cin >> time[i] >> value[i];

    for (int i = 1; i <= m; i++)
        for (int j = t; j >= time[i]; j--)
            dp[j] = max(dp[j], dp[j - time[i]] + value[i]);

    cout << dp[t] << endl;
    return 0;
}

3、hdu - 2602 - Bone Collector 

模板题，难度：★☆☆☆☆

Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Problem Description

Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave …
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ?

 

 

Input

The first line contain a integer T , the number of cases.
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.

 

 

Output

One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 231).

 

 

Sample Input

1 
5 10 
1 2 3 4 5 
5 4 3 2 1

Sample Output

14

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int main()
{
    int T, n, v;
    int volume[1005], value[1005], dp[1005];
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        cin >> n >> v;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> value[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> volume[i];
        for (int i = 1; i <= n; i++)
        {
            for (int j = v; j >= volume[i]; j--)
            {
                dp[j] = max(dp[j - 1], dp[j - volume[i]] + value[i]);
            }
        }
        cout << dp[v] << endl;
    }
    //system("pause");
    return 0;
}

4、poj - 3624 - Charm Bracelet

模板题，难度：★☆☆☆☆

Time Limit: 1000MS               Memory Limit: 65536K

 

【Description】

Bessie has gone to the mall's jewelry store and spies a charm bracelet. Of course, she'd like to fill it with the best charms possible from the N (1 ≤ N ≤ 3,402) available charms. Each charm i in the supplied list has a weight Wi (1 ≤ Wi ≤ 400), a 'desirability' factor Di (1 ≤ Di ≤ 100), and can be used at most once. Bessie can only support a charm bracelet whose weight is no more than M (1 ≤ M ≤ 12,880).

Given that weight limit as a constraint and a list of the charms with their weights and desirability rating, deduce the maximum possible sum of ratings.

【Input】

* Line 1: Two space-separated integers: N and M
* Lines 2..N+1: Line i+1 describes charm i with two space-separated integers: Wi and Di

【Output】

* Line 1: A single integer that is the greatest sum of charm desirabilities that can be achieved given the weight constraints

Sample Input

4 6
1 4
2 6
3 12
2 7

Sample Output

23

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;

int main()
{
    int T, n, m;
    int w[20005], d[20005], dp[20005];

    while (cin >> n >> m)
    {
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> w[i] >> d[i];

        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = m; j >= w[i]; j--)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - w[i]] + d[i]);

        cout << dp[m] << endl;
    }
    //system("pause");
    return 0;
}

5、hdu - 2564 - 饭卡

难度：★★☆☆☆

Time Limit: 5000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)

Problem Description

电子科大本部食堂的饭卡有一种很诡异的设计，即在购买之前判断余额。如果购买一个商品之前，卡上的剩余金额大于或等于5元，就一定可以购买成功（即使购买后卡上余额为负），否则无法购买（即使金额足够）。所以大家都希望尽量使卡上的余额最少。
某天，食堂中有n种菜出售，每种菜可购买一次。已知每种菜的价格以及卡上的余额，问最少可使卡上的余额为多少。

Input

多组数据。对于每组数据：
第一行为正整数n，表示菜的数量。n<=1000。
第二行包括n个正整数，表示每种菜的价格。价格不超过50。
第三行包括一个正整数m，表示卡上的余额。m<=1000。

n=0表示数据结束。

 

Output

对于每组输入,输出一行,包含一个整数，表示卡上可能的最小余额。

 

Sample Input

1
50
5
10
1 2 3 2 1 1 2 3 2 1
50
0

Sample Output

-45 
32

题目思路：

将该问题转化成0-1背包问题，由于每个菜只能购买一次，而且每次买菜的时候饭卡余额 m 要大于等于5，因此先利用0-1背包算出 m - 5 的钱最多能买多少菜，然后拿最后的5块钱买最贵的菜，才能使饭卡余额达到最少。而且这道题还要注意的一点是在进行0-1背包之前要将所有的菜从小到大排一下序，因为要使饭卡余额最少必须要用最后5块钱买最贵的菜，而每个菜只能购买一次，因此要在0-1背包之前sort排序，防止最贵的菜购买了多次。 

学习于：https://blog.youkuaiyun.com/qq_41181772/article/details/88650132 

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;
int main()
{
    int n, balance, value[1005], dp[1005];
    while (cin >> n, n)
    {
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> value[i];
        cin >> balance;
        sort(value + 1, value + 1 + n);
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        if (balance < 5)
        {
            cout << balance << endl;
            continue;
        }

        for (int i = 1; i < n; i++)
            for (int j = balance - 5; j >= value[i]; j--)
                dp[j] = max(dp[j], dp[j - value[i]] + value[i]);

        cout << balance - dp[balance - 5] - value[n] << endl;
    }
    return 0;
}

 二、完全背包

第一题：HDU- 1114 - Piggy-Bank

完全背包的模板题，难度：★★☆☆☆

【题意】

首先第一行输入测试次数，然后每个测试用例第一行：空存钱罐的重量 和 装满钱时候存钱罐的重量，然后第二行输入现有的钱的种类n，后面就是每种钱的价值和钱的重量。要求用存钱罐中钱的重量来找到存钱罐中的最低金额，如果可以找到那么打印“ The minimum amount of money in the piggy-bank is X.”，其中X是使用给定总重量的硬币可以达到的最低金额。如果不能准确地达到重量，This is impossible.”。 

【样例输入】

3
10 110
2
1 1
30 50
10 110
2
1 1
50 30
1 6
2
10 3
20 4

【样例输出】

The minimum amount of money in the piggy-bank is 60.
The minimum amount of money in the piggy-bank is 100.
This is impossible.

参考博客：https://blog.youkuaiyun.com/yc_cy1999/article/details/105129923

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);

    int T, e, f, n, p[505], w[505], dp[10005];
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        memset(dp, inf, sizeof(dp));
        dp[0] = 0;
        cin >> e >> f;
        cin >> n;
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            cin >> p[i] >> w[i];

        for (int i = 1; i <= n; i++)
            for (int j = w[i]; j <= f - e; j++)
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - w[i]] + p[i]);

        if (dp[f - e] == inf)
            cout << "This is impossible.\n";
        else
            cout << "The minimum amount of money in the piggy-bank is " << dp[f - e] << ".\n";
    }
    //system("pause");
    return 0;
}