六、图_itstep图-优快云博客

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qq_18534081/article/details/120079689

本文详细介绍了图的概念、特殊图、存储方式（邻接矩阵、邻接表等）、基本操作、广度优先遍历(BFS)、深度优先遍历(DFS)、最小生成树与最短路径算法（Prim、Kruskal、Dijkstra）。涵盖了无向图、有向图、权重、连通性及各种遍历策略的实现与分析。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

图

一、图的概念
二、几种特殊的图
三、图的存储
四、图的基本操作
五、广度优先遍历（BFS）
六、深度优先遍历（DFS）
- （一）算法实现：
- （二）复杂度分析：
七、最小生成树
八、最短路径问题

一、图的概念

（一）定义：

图由顶点集和边集组成，若记图为G，顶点集为V，边集为E，则有G = (V,E);
其中V(G)表示图G中顶点的有限非空集；E(G)表示图G中顶点之间的关系（边）集合；
若V = {v₁,v₂,v₃,…,v_n},则用|V|表示图G中顶点的个数，称图G的阶；
若E = {(u,v)}，用|E|表示图G中边的条数。

注意：图不可以是空图，即V一定是非空集：
在这里插入图片描述 ## （一）无向图：
没有方向的图，E是无向边（边），边是顶点的无序对，即为(v,w)或(w,v),且(v,w) = (w,v),其中v,w是顶点，边(v,w)依附于顶点w和v

（二）有向图：

有方向的图，E是有向边（弧），弧是顶点的有序对，记为<v,w>,其中v,w是顶点，v称为弧尾，w称为弧头，<v,w>称为从顶点v到顶点w的弧，且<v,w> != <v,w>
在这里插入图片描述

（三）简单图：

不存在重复的边且不存在顶点到自身的边

1.简单无向图：

2.简单有向图：

（四）多重图（考研不考）：

图中某两个结点之间的边数多于一条，且允许顶点通过同一条边和自己关联

1.多重无向图：

2.多重有向图：

（五）几个基本概念:

顶点的度：
对于无向图:顶点v的度是指依附于该结点的边的条数，记为TD(v)
对于有向图：顶点的度 = 入度 + 出度，需探讨的是入度和出度，如下：

入度：以顶点v为终点的有向边的数目，记为ID(v)

出度：以顶点v为起点的有向边的数目，记为OD）(v)

路径：顶点v_p到顶点v_q之间的一条路径，指顶点序列

回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径

简单路径：在路径序列中，顶点不重复出现的路径

简单回路：处第一个顶点和最后一个顶点外，其他顶点不重复出现的回路

路径长度：路径上边的数目

顶点到顶点的距离：从顶点u到顶点v的最短距离，若存在则为从u到v的距离，若不存在则距离无穷

连通：在无向图中，若顶点v到顶点w有路径存在，则v和w是连通的
连通图：在无向图中，任意两个顶点都是连通的
连通图至少有n-1个边
非连通图至少有C²_n-1条边

强连通：在有向图中，若从顶点v到顶点w和从顶点w和顶点v都有路径，则v和w是强连通的
强连通图：在有向图中，任何一对顶点都是强连通
对于n个结点的有向图G,若G是强连通图，则至少有n条边（形成回路）

子图：两个图的顶点集的子集和边集的子集构成的图，满足图的条件和定义

连通分量：无向图中的极大连通子图
在这里插入图片描述

强连通分量：有向图中的极大强连通子图
在这里插入图片描述

生成树：连通图的生成树包含图中全部顶点的一个极小连通子图
在这里插入图片描述若图中顶点数为n，则它的生成树含有n-1条边，若去掉他的一条边，则变成非连通图，若加上一条边，则形成回路

生成森林：在非连通图中，连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林

边的权：在一个图中，每条边都标记上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值

带权的图/网：边上带有权值的图

带权路径长度：当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和

二、几种特殊的图

无向完全图：无向图中任意两个顶点之间都存在边
在这里插入图片描述

有向完全图：有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧
在这里插入图片描述

稀疏图：边很少的图,|E| < |V|log|V|

稠密图：边很多的图,|E| > |V|log|V|

树：不存在回路且连图的无向图

若n个顶点的图，|E| > n-1,则一定有回路

有向树：一个顶点的入度为0，其余顶点的入度均为1的有向图

三、图的存储

（一）邻接矩阵法：

1.邻接存储法存储不带权图：

在这里插入图片描述 1表示有邻接（有边），0表示没有邻接（没有边）

#define MaxVertexNum 100//顶点数目的最大值
typedef struct{
	char Vex[MaxVertexNum];	//顶点表
	int Edge[MaxVertexNum] [MaxVertexNum];	//邻接矩阵，边表
	int vexnum;//图的当前顶点数 
	int arcnum;//图的边数/弧数 
}MGraph;

无向图：
    第i个顶点的度 = 第i行（或第i列）的非零元素的个数
有向图：
    第i个结点的出度 = 第i行的非零元素个数
    第i个结点的入度 = 第i列非零元素的个数
    第i个结点的度 = 第i行和第i列非零元素的个数之和

2.邻接存储法存储带权图（网）：

在这里插入图片描述

#define MaxVertexNum1 100//顶点数目的最大值
#define INFINITY 最大的int值//宏定义常量无穷
typedef char VertexType;//顶点的数据类型
typedef int EdgeType;//带权图中边上权值的数据类型
typedef struct{
	VertexType Vex[MaxVertexNum1];//顶点
	EdgeType Edge[MaxVertexNum1][MaxVertexNum1];//带权的边
	int vexnum;//图的当前定点数
	int arcnum;//图的弧数 
}MGraph1;

3.邻接矩阵表示法性能分析：

空间复杂度：O(|V|²) ,之和顶点数有关，和实际的边数无关
时间复杂度高：O(n²),不适合稀疏图，适合用于存储稠密图
无向图的邻接矩阵是对称矩阵，可以压缩存储，即只存储上三角区/下三角区

（二）邻接表（顺序+链式存储）：

在这里插入图片描述

typedef struct ArcNode{//边/弧 
	int adjvex;//边/弧指向哪一个结点 
	struct ArcNode* next;//指向下一条弧的指针 
}ArcNode;
 typedef struct VNode{//顶点 
 	VertexType data;//顶点信息
	 ArcNode* frist;//第一条边/弧 
 }VNode,AdjList[MaxVertexNum1];  
 typedef struct{//用邻接表存储的图 
 	AdjList vertices;
 	int vexnum;
 	int arcnum;
 }ALGraph;

在这里插入图片描述

（三）十字链表（存储有向图）：

在这里插入图片描述

（四）邻接多重表（存储无向图）：

在这里插入图片描述

四、图的基本操作

（一）Adjacent(G,x,y):

判断图G是否存在边<x,y>或（x,y）

（二）Neighbors(G,x):

列出图G中与结点x邻接的边

（三）InsertVertex(G,x):

从图G中插入顶点x

（四）DeleteVertex(G,x):

从图G中删除顶点x

（五）AddEdge(G,x,y):

若无向边（x,y）或有向边<x,y>不存在，则向图G中添加该边

（六）RemoveEdge(G,x,y):

若无向边（x,y）或有向边<x,y>存在，则向图G中添加该边

（七）FirstNeighbor(G,x):

求图G中顶点x的第一个邻接点，若有则返回顶点号，若没有或图中不存在x，则返回-1

（八）NextNeighbor(G,x,y):

假设图G中顶点y是顶点x的一个邻接点，返回除y之外顶点x的下一个邻接点的顶点号，若y是x的最后一个邻接点，返回-1

（九）Get_edge_value(G,x,y):

获取图G中边（x,y）或<x,y>对应的权值

（十）Set_edge_value(G,x,y,v):

设置图G中边（x,y）或<x,y>对应的权值为v

五、广度优先遍历（BFS）

（一）与树的广度优先遍历（层序遍历）之间的练习：

在这里插入图片描述

（二）算法实现：

bool visited[MaxVertexNum1];//访问标记数组
void BFG(Graph G,int v){//从顶点v出发，广度优先遍历图G 
	visit(v); //访问初始结点 
	visited[v] = TRUE;//对v做已访问标记
	Enqueue(Q,v); //顶点v入队列Q
	while(!isEmpty(Q)){
		DeQueue(Q,v);//顶点v出队列
		for(w = FirstNeighbor(G,v);w >= 0;w = NextNeighbor(G,v,w)){//检测v所有邻接点 
			if(!visited[w]){//w为v的尚未访问的邻接点
				visit(w);//访问结点w
				visit[w] = TRUE;//对w做已访问标记
				EnQueue(Q,w);//顶点w入队 
				
			} 
		} 
	} 
}

在这里插入图片描述

（三）复杂度分析：

在这里插入图片描述

六、深度优先遍历（DFS）

（一）算法实现：

bool visited[MaxVertexNum1];//访问标记数组
void DFS(Grph G,int v){
	visit(v);
	visited[v] = TRUE;
	for(w = FirstNeighbor(G,v);w >= 0;w = NextNeighbor(G,v,w)){
		if(!visited[w]){
			DFS(G,w);
		}
	} 
}