sqrtm--矩阵的平方根

本文介绍如何使用sqrtm函数计算矩阵的平方根,并提供了一个2×2矩阵的具体实例。sqrtm函数能够处理各种类型的矩阵,包括那些具有非负实部特征值的矩阵。文章还展示了如何获取结果的残差、稳定因子及条件数的估计值。

【功能简介】计算矩阵的平方根。

【语法格式】

1.X=sqrtm(A)

计算矩阵A的平方根A1/2,即X*X=A。若矩阵A的每个特征值都有非负实部,则X是唯一的,若矩阵A的特征值有负的实部,X返回负矩阵,若A为奇异矩阵,则X不存在。检测到A的奇异性时,将打印警告信息。

格式变体:

[X,resnorm]=sqrtm(A):resnorm为结果残差,resnorm= norm(A-X^2,'fro')/norm(A,'fro')。

2.[X,alpha,condest]=sqrtm(A)

alpha为稳定因子,condest为结果的条件数的估计值。

【实例3.53】计算一个2×2矩阵的平方根。

  1. >> a=[1,2;3,4];  
  2. >> b=a*a            %计算矩阵a的平方b  
  3. b =  
  4.      7    10  
  5.     15    22  
  6. >> c=sqrtm(b)       %矩阵b的平方根  
  7. c =  
  8.     1.5667    1.7408  
  9.     2.6112    4.1779  

【实例分析】矩阵b有4个平方根,分别是a、c、-a、-c。
### 正定矩阵平方根分解方法及理论证明 正定矩阵 $ A \in \mathbb{C}^{n \times n} $ 的平方根分解是指找到一个矩阵 $ B \in \mathbb{C}^{n \times n} $,使得 $ B^H B = A $ 或 $ B B^H = A $。其中 $ B^H $ 表示 $ B $ 的共轭转置[^1]。 #### 平方根分解的存在性与唯一性 对于任意正定矩阵 $ A $,存在唯一的正定矩阵 $ B $ 使得 $ B^2 = A $。这种分解称为正定矩阵的主平方根分解。以下是具体理论和方法: 1. **谱分解法**: - 假设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的正定Hermite矩阵,则存在特征值分解 $ A = Q \Lambda Q^H $,其中 $ Q $ 是酉矩阵(即 $ Q^H Q = I $),$ \Lambda $ 是对角矩阵且对角元为 $ A $ 的特征值 $ \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n > 0 $。 - 定义 $ \Lambda^{1/2} $ 为对角矩阵,其对角元为 $ \sqrt{\lambda_1}, \sqrt{\lambda_2}, \dots, \sqrt{\lambda_n} $。令 $ B = Q \Lambda^{1/2} Q^H $,则 $ B $ 是正定矩阵且满足 $ B^2 = A $[^2]。 2. **Cholesky 分解**: - 如果 $ A $ 是实对称正定矩阵,则存在下三角矩阵 $ L $ 使得 $ A = L L^T $。这被称为 Cholesky 分解。 - 在复数域上,类似的分解形式为 $ A = L L^H $,其中 $ L $ 是下三角矩阵[^3]。 3. **Newton 迭代法**: - 对于给定的正定矩阵 $ A $,可以通过迭代方法求解其平方根 $ B $。初始猜测 $ B_0 = I $,然后通过以下迭代公式逐步逼近 $ B $: $$ B_{k+1} = \frac{1}{2} \left( B_k + A B_k^{-1} \right), $$ 直到 $ \| B_{k+1}^2 - A \| $ 足够小为止[^4]。 --- #### 理论证明 1. **谱分解法的正确性**: - 假设 $ A = Q \Lambda Q^H $,定义 $ B = Q \Lambda^{1/2} Q^H $。验证 $ B^2 = A $: $$ B^2 = (Q \Lambda^{1/2} Q^H)(Q \Lambda^{1/2} Q^H) = Q \Lambda^{1/2} (\Lambda^{1/2}) Q^H = Q \Lambda Q^H = A. $$ 2. **Cholesky 分解的正确性**: - 对于实对称正定矩阵 $ A $,假设 $ A = L L^T $,则 $ A $ 的正定性保证了 $ L $ 的存在性和唯一性[^5]。 3. **Newton 迭代法的收敛性**: - Newton 迭代法基于 Banach 固定点定理,确保在适当的初始条件下,迭代序列 $ \{ B_k \} $ 收敛到 $ A $ 的平方根 $ B $[^6]。 --- ### 示例代码 以下是一个使用 NumPy 实现正定矩阵平方根分解的代码示例: ```python import numpy as np # 定义一个正定Hermite矩阵 A A = np.array([[4, 2], [2, 5]], dtype=complex) # 使用 NumPy 的 linalg.sqrtm 函数计算平方根 B = np.linalg.sqrtm(A) # 验证结果 print("矩阵 A:") print(A) print("\n矩阵 A 的平方根 B:") print(B) print("\n验证 B^2 是否等于 A:") print(np.dot(B, B)) ``` ---
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