「暑期训练」「基础DP」FATE（HDU-2159）-优快云博客

本文详细解析了二重背包问题的定义与解决方法，通过具体的例子介绍了如何利用动态规划求解二维费用背包问题，并提供了相应的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意与分析

学习本题的时候遇到了一定的困难。看了题解才知道这是二重背包。本题的实质是二重完全背包。
二维费用的背包问题是指：对于每件物品，具有两种不同的费用，选择这件物品必须同时付出这两种代价：对于每种代价都有一个可付出的最大值（背包容量）。问怎样选择物品可以得到最大的价值。
设第i件物品的两种代价分别为 $a_i$ 和 $b_j$ ，两种代价可付出的最大值（两种背包容量）分别为 $V$ 和 $U$ ，物品的价值为 $w_i$ ，那么我们可以改进原来的状态转移方程，则定义 $dp[i][j][k]$ 为选前i件物品，前两个代价分别为j与k的最大价值，则：

d p [i] [j] [k] = m a x (d p [i - 1] [j - a [i]] [k - b [i]] + w [i], d p [i - 1] [j] [k])

$dp[i][j][k]=max(dp[i-1][j-a[i]][k-b[i]]+w[i],dp[i-1][j][k])$
这是01背包的公式。而我们又知道，对于完全背包，仍然可以从01背包的公式推出（原因见前面的题解blog），只需改变推的顺序就可以了。
顺便补充一下多重背包的方法：拆分物品，具体见之后做的题目。

代码

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#define MP make_pair
#define PB push_back
#define fi first
#define se second
#define ZERO(x) memset((x), 0, sizeof(x))
#define ALL(x) (x).begin(),(x).end()
#define rep(i, a, b) for (int i = (a); i <= (b); ++i)
#define per(i, a, b) for (int i = (a); i >= (b); --i)
#define QUICKIO                  \
    ios::sync_with_stdio(false); \
    cin.tie(0);                  \
    cout.tie(0);
using namespace std;

template<typename T>
T read()
{
    T tmp; cin>>tmp;
    return tmp;
}

int main()
{
    int n,m,k,s,w[105],v[105];
    while(cin>>n>>m>>k>>s)
    {
        rep(i,1,k) cin>>v[i]>>w[i];
        int dp[105][105]; ZERO(dp);
        int ans=-0x3f3f3f3f;
        rep(i,1,k)
            rep(j,1,s) 
            {
                rep(p,w[i],m)
                {
                    dp[j][p]=max(dp[j][p],dp[j-1][p-w[i]]+v[i]);
                    if(dp[j][p]>=n && (m-p)>ans)
                    {
                        ans=m-p;
                    }
                }
            }
        if(ans==-0x3f3f3f3f)
            cout<<-1<<endl;
        else
            cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}