qq_17065591的博客

设有二次型fxTAxf=x^TAxfxTAx，如果对任何x≠0x\ne 0x0，都有fx0f00fx0f00，则f是正定二次型，并称对称矩阵A是正定的；如果对任何x≠0x\ne 0x0，都有fx0f(x)< 0fx0，则f是负定二次型，并称对称矩阵A是负定的。

的笔记，相关证明以及例子见原文任意二次型都可以经过可逆线性变换x=Cy化成只含有平方项的形式，即标准形。

设A与B为n阶方阵，若有可逆矩阵C，使BCTACB=C^TACBCTAC，则称矩阵A与B合同本质：是同一个二次型在不同基下的矩阵，对比相似矩阵，相似矩阵是同一个线性变换在不同基下的表示矩阵，合同矩阵首先都是对称的，又因BCTACB=C^TACBCTAC，C可逆，故合同矩阵又是等价的。

的笔记，相关证明以及例子见原文。

以n维向量空间RnR^nRn为例，设L为RnR^nRn上的一个线性变换，向量组Iα1α2αnIα1​α2​...αn​和IIb1b2bnIIb1​b2​...bn​为其两组基，两组基构成的矩阵分别为A和B，从基I\rm{I}I到基II\rm{II}II的过渡矩阵为PA−1BP=A^{-1}BPA−1B，线性变换L在基I\rm{I}I下的表示矩阵为M，在II\rm{II}II。

设A是n阶方阵，如果数λ\lambdaλ和n维非零列向量x满足关系式AxλxAxλx则称λ\lambdaλ为A的特征值，x为A的属于λ\lambdaλ的一个特征向量。

R2的笔记，相关证明以及例子见原文。

的笔记，相关证明以及例子见原文。

任意一个矩阵A对应的Ax=0的解空间称为A的零空间,用Null A表示。齐次线性方程组Ax=0的有限个解η1η2⋯ηtη1​η2​⋯ηt​满足：（1）η1η2⋯ηtη1​η2​⋯ηt​线性无关；（2）AX=0的任意一个解均可由η1η2⋯ηtη1​η2​⋯ηt​线性表示则称η1η2⋯ηtη1​η2​⋯ηt​是齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系。

若n维向量a1a2⋯ara1​a2​⋯ar​是一个非零向量组，且a1a2⋯ara1​a2​⋯ar​中的向量两两正交，则称该向量组为正交向量组。

设有n维向量xx1x2⋮xnyy1y2⋮ynx_1 \\x_2 \\\vdots \\x_ny_1 \\y_2 \\\vdots \\y_nx​x1​x2​⋮xn​​​y​y1​y2​⋮yn​​​令xyx1y1x2y2⋯xnynxyx1​y1​x2​y2​⋯xn​yn​称xy[x,y]xy为向量x与y的内积。

为向量空间V的一个基，则对V中每个向量x，存在唯一的一组数。的笔记，相关证明以及例子见原文。

设V是向量空间，若有r个向量α1α2⋯αr∈Vα1​α2​⋯αr​∈V，且满足（1）α1α2⋯αrα1​α2​⋯αr​线性无关；（2）V中任一向量都可由α1α2⋯αrα1​α2​⋯αr​线性表示。则称向量组α1α2⋯αrα1​α2​⋯αr​为向量空间V的一个基，数r称为向量空间V的维数，并称V为r维向量空间如果在向量空间V中取定一个基α1α。

设有向量组Aa1a2⋯amAa1​a2​⋯am​，满足（1）有r个向量线性无关，不妨设向量组A0a1a2⋯arA0​a1​a2​⋯ar​线性无关；（2）向量组A中任意r+1个向量（若有的话）都线性相关。称向量组A0A_0A0​是向量组A的一个最大线性无关向量组（也称最大无关组或极大线性无关向量组设有向量组Aa1a2⋯amAa1​a2​⋯am​，满足。

定义：给定向量组Aa1a2⋯amAa1​a2​⋯am​，如果存在不全为零的数k1k2⋯kmk1​k2​⋯km​使k1a1k2a2⋯kmam0k1​a1​k2​a2​⋯km​am​0则称向量组A线性相关，否则称为线性无关。推广：两个向量线性相关的充要条件是两向量对应元素成比例向量组a1a2⋯ama1​a2​⋯am​。

若其中一个方程可以写成其它方程的线性组合，则称该方程可由其它方程线性表示，若方程组B的每个方程都可由方程组A的线性表示，就称方程组B能由方程组A线性表示，这时方程组A 的解一定是方程组B的解；若方程组A与方程组B能相互线性表示，就称这两个方程组等价，等价的方程组一定同解。，则存在可逆矩阵P，使PA=B，即B=PA，所以B的行向量组可由A的行向量组线性表示，同时有。，所以A的行向量组也可以由B的行向量组线性表示，说明A与B的行向量组等价；为什么方程组B能由方程组A线性表示，方程组A 的解一定是方程组B的解？

设有两向量组Aa1a2anAa1​a2​...an​Bb1b2blBb1​b2​...bl​若向量组B中的每一个向量都能由向量组A线性表示，则称向量组B能由向量组A线性表示。问题：如何判断向量组B能由向量组A线性表示？分析：向量组B能由向量组A线性表示⇔⇔b1a1a2⋯ank11k21⋮kn1⋯bla1a2⋯ank1lk2l⋮knl⇔BAK。

A为系数矩阵，方程必有零解，故不存在无解的情况，另外增广矩阵的最后一列为零，故其秩与系数矩阵A相同。设A为m * n矩阵，X为n * l矩阵，则B为m * l矩阵，把X和B按列分块，记为。若A不是方阵或不可逆，这时需要用待定元素法来求解。设未知矩阵X的元素为。若A是方阵，先确定A是否可逆，若A可逆，则有唯一解。所满足的线性方程组，通过解线性方程组求出所有元素。，A为系数矩阵且为方阵，则有。，然后根据所给的矩阵方程列出。，且A的行最简形矩阵为。的后m-r行全为零，的后m-r行全为零，

设矩阵Am∗nA_{m*n}Am∗n​，称其标准形中单位矩阵子块的阶数为矩阵A的秩，记为RAR(A)RA由定理得定义2:一个矩阵的秩为它的最高阶非零子式的阶数。

方法：利用初等行变换，将矩阵A左边所乘初等矩阵相乘，从而得到可逆矩阵P.即将上面的“记录器”E换为B，将A化为E的一系列行变换操作（等效于左乘。类型初等矩阵的乘积，L可逆；U是A的一个等价的行阶梯形矩阵。L是单位下三角矩阵，主对角线元素全是1，它其实是一系列。看成分块矩阵，后面的E为记录器，对分块矩阵。将系数矩阵进行LU分解，然后分两步解出方程。．手动进行LU分解当然是比较麻烦的.在具体求解时要使用数学软件来求，

第三章，矩阵，06-初等变换与初等矩阵标准形初等行变换初等列变换初等变换行阶梯形矩阵行最简形标准形初等矩阵定义性质可逆等价矩阵相关定义行等价列等价等价性质定理1定理2推论玩转线性代数(18)初等变换与初等矩阵的笔记标准形初等行变换对矩阵的行进行对换、数乘(常数非零,下同)和倍加三种变换。初等列变换对矩阵的列进行对换、数乘(常数非零,下同)和倍加三种变换。初等变换初等行变换与初等列变换统称初等变换。行阶梯形矩阵初等行变换，至如下形式:(1) 如果有零行，则位于矩阵的下方;(2) 各非

第三章，矩阵，05-逆矩阵定义逆矩阵的唯一性非奇异矩阵矩阵可逆的判定伴随矩阵矩阵可逆的判定定理矩阵可逆的推论逆矩阵性质定义对于n阶矩阵A，如果有一个n阶矩阵B，使得AB=BA=EAB=BA=EAB=BA=E则称矩阵A为可逆矩阵，而矩阵B为A的逆矩阵，记B=A−1B=A^{-1}B=A−1逆矩阵的唯一性证明：若B和C都是A的逆矩阵，则：AB=BA=E,AC=CA=EAB=BA=E,AC=CA=EAB=BA=E,AC=CA=E那么：B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=CB=BE=B(AC

第三章，矩阵，04-分块矩阵定义运算加法数乘转置乘法分块对角阵分块对角阵乘法分块对角阵行列式按行列分块行向量列向量行列向量表示的矩阵乘法例线性方程组分块表示玩转线性代数(16)分块矩阵的笔记定义用一些纵、横线将矩阵A分割成若干小矩阵，以这些小矩阵为元素的矩阵称为分块矩阵，各个小矩阵称为A的子块运算对分块矩阵进行运算时，可以把每一个子块当作矩阵的一个元素来处理，但应保证矩阵运算的可行性。加法设矩阵A、B是两个同型矩阵，且分块方法一致，才能相加A=(A11A12⋯A1rA21A22⋯A2r⋮⋮⋮

第三章，矩阵，03-矩阵与行列式矩阵与行列式的转置证明(AB)T=BTAT(AB)^T=B^TA^T(AB)T=BTAT证明(ABC)T=CTBTAT(ABC)^T=C^TB^TA^T(ABC)T=CTBTAT推广:(A1A2...Ak)T=AkT...A1T(A_1A_2...A_k)^T=A^T_k...A^T_1(A1​A2​...Ak​)T=AkT​...A1T​方阵、对称矩阵矩阵的k阶子式定义方阵的行列式（方阵的最高阶子式）玩转线性代数(15)矩阵与行列式的笔记矩阵与行列式的转置将一个m×n

第三章，矩阵，02-python矩阵乘法1. 同线性代数中矩阵乘法的定义： np.dot()2. 对应元素相乘 element-wise product: np.multiply(), 或 *搬运：Python中的几种矩阵乘法1. 同线性代数中矩阵乘法的定义： np.dot()np.dot(A, B)：对于二维矩阵，计算真正意义上的矩阵乘积，同线性代数中矩阵乘法的定义。对于一维矩阵，计算两者的内积。见如下Python代码：import numpy as np# 2-D array: 2 x 3

第三章，矩阵，02-矩阵乘法定义规则1规则2规则3规则4运算律不满足交换律满足方阵的幂可交换单位矩阵E纯量阵定义规则1行向量与列向量的乘法要求两个向量的元素个数相等。规则2行向量与列向量的乘法是用行向量的元素去乘列向量的对应元素然后相加求和。规则3向量与矩阵相乘后得到一个向量，不管哪个在前，需要满足前面的列与后面的行数相等。规则4两个矩阵相乘AB=CAB=CAB=C,所得CCC为矩阵，其元素cijc_{ij}cij​为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列元素对应元素的乘积之和。运算律不满足交

第三章，矩阵，01-矩阵的简单运算同型矩阵相等负矩阵加法与减法加法运算规则减法数乘数乘运算规则同型矩阵若矩阵A和矩阵B的行数与列数都相等，则称A和B为同型矩阵。相等两个同型矩阵的对应元素相等，则称矩阵相等，记作A=BA=BA=B负矩阵对矩阵A中所有元素取相反数即得到矩阵A的负矩阵，记为-A。加法与减法同型矩阵对应元素相加/减C=A+B=(aij+bij)C=A+B=(a_{ij}+b_{ij})C=A+B=(aij​+bij​)加法运算规则设A，B，C，A，B，C，A，B，C，0都是m

python矩阵运算1-1 python矩阵运算所需模块1-2定义矩阵和进行相关的矩阵运算RREFnumpy/scipy/sympy:搬运：python矩阵的运算大全:python矩阵运算可以用numpy模块，也可以用scipy模块，主要运算包括以下几种：1-1 python矩阵运算所需模块import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport scipy.linalg as lg #scipy矩阵运算模块1-2定义矩阵和进行相关的矩

第二章，用矩阵解线性方程组，02-高斯约尔当消元法行最简形矩阵高斯约尔当消元法解的向量形式表示对比克莱姆法则玩转线性代数的笔记行最简形矩阵满足两个条件的行阶梯形矩阵：各非零行的首非零元都是1；每个首非零元所在列的其余元素都是零。行阶梯形矩阵不唯一，行最简形唯一。高斯约尔当消元法将增广矩阵化成行最简形来求方程组的方法称为高斯约尔当消元法。解的向量形式表示行矩阵和列矩阵也称向量。对比克莱姆法则矩阵解法能求解mn型线性方程组，且整个过程主要对矩阵进行初等行变换，不易出错。克莱姆法则只能

第二章，用矩阵解线性方程组，01-高斯消元法行列式的局限超定方程组与欠定方程组消元法与同解变换消元法同解变换等价矩阵的定义矩阵元素、行标和列标行矩阵或行向量玩转线性代数的笔记行列式的局限超定方程组与欠定方程组有两种情况不能使用行列式来解线性方程组的方程个数m多于未知数个数n，称为超定方程组相反，方程个数m少于未知数个数n，称为欠定方程组消元法与同解变换消元法用一个更易求解的线性方程组代替原线性方程组，例见原文变换类型：交换 交换两个方程的位置数乘 将其中一个方程乘以一个不为零的

第一章，07-方程组的行列式解法-克莱姆法则简介克莱姆法则numpy计算行列式简介这是《玩转线性代数》的学习笔记。示例请查看原文克莱姆法则设线性方程组{a11x1+a12x2+⋯+a1nxn=b1a21x1+a22x2+⋯+a2nxn=b2−−−−−−−−−−−−−−a31x1+an2x2+⋯+annxn=bn \left\{\begin{aligned}a_{11}x_1+a_{12}x_2+\cdots+a_{1n}x_n = b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+\cd

第一章，06-行列式的降阶计算-余子式和代数余子式简介余子式代数余子式代数余子式相关定理行列式按行(列)展开法则证明展开定理的推论简介这是《玩转线性代数》的学习笔记。示例请查看原文余子式在n阶行列式中，把元素aija_{ij}aij​所在的第i行与第j列划去后留下的n−1n-1n−1阶行列式叫做元素aija_{ij}aij​的余子式，记作MijM_{ij}Mij​。代数余子式在n阶行列式中，记Aij=(−1)i+jMijA_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}Aij​=(−1)i+jMi

第一章，05-行列式的计算简介定义法性质法化三角法拉普拉斯公式递推法简介这是《玩转线性代数》的学习笔记。这节原文里行列式太多，部分示例请查看原文。定义法适用零多的行列式性质法参考上节提到的性质，将特殊行列式直接求解或化简化三角法利用性质5，将某行的常数倍加到另一行上，行列式值不变。可以将行列式化为上三角或下三角形式，从而求出行列式的值。拉普拉斯公式D=∣a11⋯a1k0⋯0⋮⋮⋮⋮ak1⋯akk0⋯0c11⋯c1kb11⋯b1n⋮⋮⋮⋮cn1⋯cnkbn1⋯bnn∣D=\begin{

简介这是《玩转线性代数》的学习笔记少壮不努力，老大徒伤悲，学校里没学好，工作多年后又从头看，两行泪。。。几个特殊行列式对角行列式除主对角线外的其它元素都为零∣λ1⋱λn∣\begin{vmatrix}\lambda_1\\ & \ddots & \\ & & \lambda_n\end{vmatrix}∣∣∣∣∣∣​λ1​​⋱​λn​​∣∣∣∣∣∣​令λi=aii\lambda_i=a_{ii}λi​=aii​:∣λ1⋱λn∣=∣a11⋱an

第一章，用行列式解线性方程组，03-四阶行列式简介排列与逆序数全排列排列的标准次序逆序逆序数奇排列和偶排列对换定理推论四阶行列式的逆序数表示简介这是《玩转线性代数》的学习笔记少壮不努力，老大徒伤悲，学校里没学好，工作多年后又从头看，两行泪。。。排列与逆序数全排列把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，简称排列。如3个不同元素1,2,3的所有可能排列有：123,132,213,231,321,312,n个元素的排列数共pn=n!=n×(n−1)×(n−2)×−−−×2×1个。123

第一章，用行列式解线性方程组，02-初识行列式简介2.1 二阶行列式2.1.1 定义2.1.2 对角线法则2.1.3 二元线性方程组解的行列式表示2.2 三阶行列式2.2.1 定义2.2.2 对角线法则2.2.3 三元线性方程组解的行列式表示简介这是《玩转线性代数》的学习笔记少壮不努力，老大徒伤悲，学校里没学好，工作多年后又从头看，两行泪。。。2.1 二阶行列式2.1.1 定义将符号∣a11a12a21a22∣\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{

第一章，用行列式解线性方程组，01-基本定义简介定义1：n元线性方程定义2：n元线性方程的解定义3：n元线性方程组定义4：n元线性方程组的解定义5：n元线性方程组的解集定义6：线性方程组的相容和不相容定义7：齐次线性方程和非齐次线性方程组简介这是《玩转线性代数》的学习笔记少壮不努力，老大徒伤悲，学校里没学好，工作多年后又从头看，两行泪。。。定义1：n元线性方程形如a1x1+a2x2+...+anxn=b(1.1)a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=b \quad(1.1)