求和符号西格玛

求和符号性质：
a$_1$ + a$_2$+a$_3$+ ……+a$_n$
可以简单的表示为：$\sum_{i=1}^n a_i$
这里的整数$i$是变量, 而$a_i$是$i$的函数。 $i = 1$ 指出了 $i$ 所取得最小值， $n$ 指出了$i$ 所取得最大值。
当然， $i$ 不是必须从$1$ 开始，他可以从小于等于$n$ 的任何一个整数$m$ 开始，如：
$\sum_{i=m}^n a_i = a_m + a_{m+1} +a_{m+2}……a_ n$
特殊地，有$\sum_{i=n}^n a_i = a_n$
了解求和符号的一般规律，可以是复杂的问题简单化，下面我们着手进行这些规律的研究。

定理 1
$\sum_{i=1}^n a_i = \sum_{i =1}^m a_i + \sum_{i =m+1}^n a_i$
其中$m$是介于$1$ 和$n$ 间的整数。

定理2
$\sum_{i=1}^n a_i + b_i =\sum_{i= 1}^n a_i + \sum_{i=1}^n b_i$

定理3
$\sum_{i=1}^n a_{1i} + a_{2i}+a_{3i}+……+a_{ni} = \sum_{i=1}^n a_{1i} +\sum_{i=1}^n a_{2i……+ \sum_{i=1}^n a_{ki}}$

定理4
对于 $a_{1i}=a_{2i}=a_{3i}=a_{ki}=a_{i}$ 有：
$\sum_{i=1}^n ka_i = k\sum_{i =1}^n a_i$
其中$k$ 为常数，且为整数。 这个结果告诉我们求和符号里面的整数常数可以提出求和符号的外边来。 不但如此，我们还可以将这个整数常数推广到任意的常数。

双重求和与平面陈列
数列每一项都有相互独立的两个数，$i$和$j$决定，即数列是$i，j$的二元函数，他的一般项记为$a_{ij}$. 取 $i = 1,2,3……n, // j=1,2,3,……m$ 则$a_{ij}$表示了下面的阵列的所有项。
$a_{11},a_{12},a_{13}\cdots a_{1m}$
$a_{21},a_{22},a_{23}\cdots a_{2m}$
$a_{31},a_{32},a_{33}\cdots a_{3m}$
$\cdots$
$a_{n1},a_{n2},a_{n3}\cdots a_{nm}$

$n * m$项的和，简略的记为$\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n a_{ij}$ 符号$\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^n a_{ij}$是一个整体，成为双重求和符号。
求阵列所有项的和可以有很多种方法，一种是先求各行的和，再将各行的和累加。
另一种是先求各列的和，然后将各列的和累加。

先按行求和，有
$\sum_{j=1}^m a_{1j} + \sum_{j=1}^m a_{2j}+\cdots + \sum_{j=1}^m a_{nj} = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}$

先按列求和， 有
$\sum_{i=1}^n a_{i1} + \sum_{i=1}^n a_{i2}+\cdots + \sum_{i=1}^n a_{im} = \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n a_{ij}$