【POI2012】polarization（树的重心，dp优化，结论）

题目大意：

给你一颗树，对于每条边你可以自己选择方向，但是只能一个方向，如果点i,j可以互相到达，那么i,j就是匹配的。求出匹配数最小和最大的值。

思路：

这题的匹配最小值很容易求，手玩几个图就可以发现为n-1，证明就是所有深度为偶数的向下走，为奇数的向上走，每条边就只会匹配一个点就不会延伸了。
对于最大的匹配数就特别恶心了，而且这题还有没部分分，哎。首先我们要猜一个结论，结论就是最大匹配数的方案图像，里面有一个点他的个个子树里面的边方向相同。这样就可以枚举那个汇点在哪里，为了让他们的匹配树尽可能的大，那么向上的就要尽量接近n-1/2，所以要用dp来判断最接近n-1/2的数是多少。但是一般的dp是n^2的，加上前面的一个n就n^2超时了，这是就要用到一种神奇的dp优化，17年noip有讲，我这里就大概聊聊。你可以把点的子树数看成x，子数的节点数看成y,如果x>根号n那么y<根号n，你就开了一个根号n的多重背包，用优化写logn，如果x<根号n，那么y必然>根号n,这就是只有根号n个物品的背包问题了。
预处理一下子树权值，点数，子树方向相同的匹配数，然后每个点搞一搞就好了。

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好像还有一个优化没有说，就是只要从重心开始做上面的讲法，不是重心好像就可以就可以直接o（子树数）出结了。

程序：

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 500001
using namespace std;
typedef long long LL;
int last[N],q[N],hash[N],size[N];
int cnt,n;
LL dis[N],disp[N];
struct data{int t,next;}e[N*2];
void add(int x,int y){
    e[++cnt].t=y; e[cnt].next=last[x]; last[x]=cnt;
    e[++cnt].t=x; e[cnt].next=last[y]; last[y]=cnt;
} 

LL could[N],num[N],f[N],f1[N];
long long work(int u){
    int i,top=0;
    long long ans=0;
    for (int i=last[u];i;i=e[i].next){
        int v=e[i].t;
        if (hash[v]==u){
            ans+=dis[v]+size[v];
            could[++top]=size[v];
        } else {
            ans+=disp[u];
            could[++top]=n-size[u];
        }
    }
    for (int i=1;i<=top;i++)
        if (could[i]*2>=n-1) return ans+LL(n-1-could[i])*could[i];
    int T=sqrt(n)+1;
    for (int i=1;i<=T;i++) num[i]=0;
    memset(f,0,sizeof(f));
    f[0]=1;
    int half=(n+1)/2;
    for (int i=1;i<=top;i++){
        if (could[i]<=T) num[could[i]]++;
        else for (int j=half;j>=could[i];--j)
         f[j]|=f[j-could[i]];
    }
    for (int i=1;i<=T;i++){
        if (!num[i]) continue;
        for (int j=0;j<=half;j++)
         f1[j]=0;
        for (int j=0;j<=i-1;j++){
            int sum=0;
            for (int k=0;k*i+j<=half;++k){
                sum+=f[k*i+j];
                f1[k*i+j]=(sum>0);
                if (k>=num[i])
                  sum-=f[(k-num[i])*i+j];
            }
        }
        for (int j=0;j<=half;j++)
          f[j]=f1[j];
    }
    long long t=0;
    for (int i=0;i<=half;i++)
     if (f[i]) t=max(t,ans+i*LL(n-1-i));
    return t;
}

int main(){
    freopen("polarization.in","r",stdin);
    freopen("polarization.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n); 
    for (int i=1;i<n;i++){
        int x,y;
        scanf("%d%d",&x,&y);
        add(x,y);
    }
    int h=1,t=1;
    q[t++]=1;
    hash[1]=-1; 
    while (h<t){
        int u=q[h++];
        for (int i=last[u];i;i=e[i].next){
            int v=e[i].t;
            if (!hash[v]){
                q[t++]=v;
                hash[v]=u;
            } 
        }
    } 
    for (int i=n;i>=1;--i){
        int  u=q[i];
        size[u]=1;
        for (int j=last[u];j;j=e[j].next){
            int v=e[j].t;
            if (hash[v]!=u) continue;
            dis[u]+=dis[v]+size[v];
            size[u]+=size[v];
        }
    }
    disp[1]=0;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        int u=q[i];
        for (int j=last[u];j;j=e[j].next){
            int v=e[j].t;
            if (hash[v]!=u) continue;
            disp[v]=dis[u]+disp[u]-(dis[v]+size[v])+(n-size[v]);
        }
    }
    long long ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        ans=max(ans,work(i));
    printf("%d %lld",n-1,ans);
}