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#算法 #几何学

样条曲线(spline curves)

所谓样条曲线(Spline Curves)是指给定一组控制点而得到一条曲线，曲线的大致形状由这些点予以控制，一般可分为插值样条和逼近样条两种，插值样条通常用于数字化绘图或动画的设计，逼近样条一般用来构造物体的表面。工程中，很多实际应用场景都需要制作平滑的面、线。这些面、线都是被相应的条件约束。把这些需求和约束抽象为数理模型就是样板曲线。
样条曲线是经过一系列给定点的光滑曲线。最初，样条曲线都是借助于物理样条得到的，放样员把富有弹性的细木条（或有机玻璃条），用压铁固定在曲线应该通过的给定型值点处，样条做自然弯曲所绘制出来的曲线就是样条曲线。样条曲线不仅通过各有序型值点，并且在各型值点处的一阶和二阶导数连续，也即该曲线具有连续的、曲率变化均匀的特点。

样条曲线(spline curves)的种类

常用的样条有许多种，由它们的特征命名。以下列出其中几种：

[01] 按表达方式命名，如：非均匀有理 B 样条曲线（NURBS），又称为B样条(B-spline)。整个样条曲线是有每个基曲线的线性组合。每个曲线段的多项式由伯恩施坦多项式(Bernstein polynomial)表达。
[02] 按节点的特征命名，如：均匀样条。每个曲线段的长度相等且C(n − 1)连续。若对每段曲线段的长度没有要求则称为非均匀样条。
[03] 用特殊条件限定命名，如：自然样条、差值样条。若要求在a与b二次导数为零则称为自然样条(natural splines)。若要求样条曲线穿过实际数据点则称为插值样条(interpolating splines)

样条曲线(spline curves)的特点

[01] 样条曲线(spline curvers)是由一组逼近控制多边形的光滑参数曲线段构成，这些曲线段就是样条曲线段。控制多边形也叫特征多边形，其顶点即使控制点，只有在特殊情况下(次数为0、阶数为1)，样条曲线才能通过控制点。
[02] 样条曲线的次数，是由样条曲线数学定义中所取的基函数所决定的。从绘图的角度，可表述为样条曲线的次数等于绘制曲线段(组成样条曲线的各个小线段)用到折线(控制点相连的线段)的段数。最长用的是二次和三次。通过上述，以推理得到，样条曲线的次数+1等于控制点数(该组控制点决定曲线段的绘制)。
[03] 阶数与次数有关，样条曲线的阶是其次数加一。阶数越高，控制点越多，阶数等于控制点数(此处的控制点为决定曲线段的控制点数目，不是整个样条曲线的、总的控制点数目)。二次样条的阶数是三，样条曲线段由三个控制点决定；三次样条的阶数是四，样条曲线段与四个控制点决定。
[04] 权值可控制样条曲线段在控制多边形范围内做局部调整，反映了曲线靠近控制多边形的程度，权值越大，曲线段越靠近控制多边形。反之，则远离。对于NURBS曲线，当权值为1时，退化为非有理B样条曲线，可见非有理B样条曲线是NURBS的一个子集。而且样条曲线的阶数等于控制点总数时，非均匀有理B样条曲线就转换成了贝塞尔曲线。
[05] 允差是指样条曲线通过型值点的精确程度，允差越小，样条曲线与型值点越接近，允差为零，样条曲线将通过型值点