[解题报告]POJ-2698-八皇后问题

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zheguangqi

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CC 4.0 BY-SA版权

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/qizheguang/article/details/50552862

本文深入解析八皇后问题的解题思路与算法实现，通过深度搜索加记忆数组的方法解决皇后不能互相攻击的问题，并提供简化版代码与直接交表两种解法。详细阐述了如何使用记忆数组判断列、主对角线与副对角线的状态，确保八个皇后在国际象棋棋盘上的合理布局。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

一、题目

2698:八皇后问题

原题链接：http://poj.grids.cn/practice/2698/

时间限制: 10000ms 内存限制: 65536kB

描述

在国际象棋棋盘上放置八个皇后，要求每两个皇后之间不能直接吃掉对方。

输入

无输入。

输出

按给定顺序和格式输出所有八皇后问题的解（见Sample Output）。

样例输入

样例输出

No. 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

No. 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

No. 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

No. 4 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

No. 5 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0

No. 6 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

No. 7 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

No. 8 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

No. 9 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ...

以下省略...

提示此题可使用函数递归调用的方法求解。

二、分析

1、递归法；2、交表法

八皇后问题经典解析：

八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型例题。该问题是十九世纪著名的数学家高斯1850年提出：在8X8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种方法可以解决此问题。

摘自百度百科
解题思路:深度搜索加记忆数组
*因为皇后不能处于同一行,同一列,同一斜线(即主对角线和副对角线),所以可以判断出8个皇后分别各占一行
*不妨假设从第一行开始,行数依次加一确定每一行皇后的位置,在下面的程序中cur代表行号,因为我们依次让
*行号加一,所以不会存在行号重叠的现象,接下来只需判断列数和对角线没有发生重叠即可,这里,我们用一个记
*忆状态的数组(vis[][])来存储列和对角线的状态,每次确定一个皇后的位置,首先判断其对应的列和对角线是否
*染色,如果没有染色,则该位置有效,并染色,这样就不会出现列和对角线重叠的问题.
下面重点讲解一下对角线,其原理可用下图说明：

(格子(i-j)的值标示了主对角线)
同理读者自行可以推出
(格子(i+j)的值标示了副对角线)
又因为主对角线的值有为负数的情况,所以我们在标记的时候应该加>=7的数,所有值都加了>=7所以标记的效果并没有改变

简化版代码：

 
   1 #include<iostream>
  
 
   2 
  using 
  namespace std;
  
 
   3 
  bool vis[
  3][
  30];
  //
  记忆数组判断列,主对角线,副对角线是否被占
  
 
   4 
  int ans=
  0;
  
 
   5 
  void dfs(
  int cur)
  
 
   6 {
  
 
   7 
  if(cur==
  9)
  //
  如果当前行数超过8(表明八个皇后已经放好)则结果加一，返回继续递归
  
 
   8 {
  
 
   9 ans++;
  
 
  10 
  return ;
  
 
  11 }
  
 
  12 
  //
  vis[0][i]判断列,vis[i][cur-i+8]判断主对角线,vis[2][cur+i]判断副对角线
  
 
  13 
  for(
  int i=
  1;i<=
  8;i++)
  if(!vis[
  0][i]&&!vis[
  1][cur-i+
  8]&&!vis[
  2][cur+i])
  
 
  14 {
  
 
  15 vis[
  0][i]=vis[
  1][cur-i+
  8]=vis[
  2][cur+i]=
  true;
  
 
  16 dfs(cur+
  1);
  //
  深度搜索
  
 
  17 vis[
  0][i]=vis[
  1][cur-i+
  8]=vis[
  2][cur+i]=
  false;
  
 
  18 } 
  
 
  19 }
  
 
  20 
  int main()
  
 
  21 {
  
 
  22 dfs(
  1);
  //
  初始化cur为1,即从第一行开始
  
 
  23 cout<<
  "
  有 
  "<<ans<<
  "
   种结果.
  "<<endl;
  
 
  24 system(
  "
  pause
  ");
  
 
  25 
  return 
  0;
  
 
  26 } 
 

三、AC源代码

1、递归求解

 
   1 #include<iostream>
  
   2 
  using 
  namespace std;
  
   3 
  
   4 
  bool vis[
  3][
  20];
  //
  记忆数组判断列,主对角线,副对角线是否被占
  
   5 
  int ans=
  0,num=
  1;
  
   6 
  int p=
  0,pos[
  8];
  
   7 
  
   8 
  void dfs(
  int cur);
  
   9 
  void print();
  
  10 
  
  11 
  int main()
  
  12 {
  
  13 dfs(
  1);
  //
  初始化cur为0,即从第一行开始
  
  14 
  return 
  0;
  
  15 }
  
  16 
  
  17 
  void dfs(
  int cur)
  
  18 {
  
  19 
  if(cur>
  8)
  //
  如果当前行数超过8(表明八个皇后已经放好)则结果加一，返回继续递归
  
  20 {
  
  21 ans++;
  
  22 print();
  
  23 
  return;
  
  24 }
  
  25 
  //
  vis[0][i]判断列,vis[i][cur-i+8]判断主对角线,vis[2][cur+i]判断副对角线
  
  26 
  for(
  int i=
  1;i<=
  8;i++)
  
  27 
  if(!vis[
  0][i]&&!vis[
  1][cur-i+
  8]&&!vis[
  2][cur+i])
  
  28 {
  
  29 pos[p++]=i;
  
  30 vis[
  0][i]=vis[
  1][cur-i+
  8]=vis[
  2][cur+i]=
  true;
  
  31 dfs(cur+
  1);
  //
  深度搜索
  
  32 vis[
  0][i]=vis[
  1][cur-i+
  8]=vis[
  2][cur+i]=
  false;
  
  33 p--;
  
  34 }
  
  35 }
  
  36 
  
  37 
  void print()
  
  38 {
  
  39 
  int i,j;
  
  40 cout<<
  "
  No. 
  "<<num++<<endl;
  
  41 
  for(i=
  0;i<
  8;i++)
  
  42 {
  
  43 
  for(j=
  0;j<
  8;j++)
  
  44 
  if(i==pos[j]-
  1)
  
  45 cout<<
  "
  1 
  ";
  
  46 
  else
  
  47 cout<<
  "
  0 
  ";
  
  48 cout<<endl;
  
  49 }
  
  50 
  /*
  for(i=0;i<8;i++)
 
  51 
   cout<<pos[i];
 
  52 
   cout<<endl;
  */
  
  53 }

2、直接交表

 
   1 #include <stdio.h>
  
 
   2 
  int pos[
  736]={
  1,
  5,
  8,
  6,
  3,
  7,
  2,
  4,
  1,
  6,
  8,
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  4,
  2,
  8,
  6,
  1,
  3,
  5,
  7,
  5,
  3,
  1,
  6,
  8,
  2,
  4,
  8,
  2,
  4,
  1,
  7,
  5,
  3,
  6,
  8,
  2,
  5,
  3,
  1,
  7,
  4,
  6,
  8,
  3,
  1,
  6,
  2,
  5,
  7,
  4,
  8,
  4,
  1,
  3,
  6,
  2,
  7,
  5};
  
 
   3 
  int main()
  
 
   4 {
  
 
   5 
  int i,j,n=
  92;
  
 
   6 
  while(n--)
  
 
   7 {
  
 
   8 printf(
  "
  No. %d\n
  ",
  92-n);
  
 
   9 
  for(i=
  0;i<
  8;i++)
  
 
  10 {
  
 
  11 
  for(j=
  0;j<
  8;j++)
  
 
  12 
  if(i==pos[(
  91-n)*
  8+j]-
  1)
  
 
  13 printf(
  "
  1 
  ");
  
 
  14 
  else
  
 
  15 printf(
  "
  0 
  ");
  
 
  16 printf(
  "
  \n
  ");
  
 
  17 }
  
 
  18 }
  
 
  19 
  return 
  0;
  
 
  20 } 
 