百度之星冬季邀请赛第二题

du熊填数字
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本次组委会推荐使用C、C++Problem Description 

原题：http://tieba.baidu.com/p/2039526366

du熊这几天使劲的往一个n 行n列的矩阵填0和1这两个数字，n为偶数，而且矩阵由里向外分成了n / 2层。比如n = 6时，矩阵的分层如下：


du熊填数时有一个要求：不能存在两个相邻的1，且位于不同的层(这里的相邻指两格子共用一条线)。 请你帮du熊计算一下有多少种填法。

Input 输入包含多组测试数据，每组数据包含一个偶数n (2 <= n <= 500)。

Output 请计算并输出对2012取余后的结果。

Sample Input 2 4S

ample Output 16 1952 

Hint当n = 4时 1011 0100 0100 0000是满足要求的 1111 0100 0100 0000是不满足要求的，因为第一行第二列的1和第二行第二列的1相邻且位于不同的层。

我的想法：

开始的时候，发现四个角上的四块是绝对独立的，与其他的无关。

首先，我先把正方形按照对角线分成四块相对独立直角三角形看待的，每个三角（只是看作三角）中的方块都与固定方向相邻的比较（我这里的意思是，上下两个三角形里的正方块上下比较，左右的左右比较），发现这样根本不能解决问题，因为对角线上的方块根本不允许这样做，更重要的是这样子只是减少了穷举而已，肯定绝对一定会超时，所以放弃。

then。

由于每个正方体的边数都是偶数（n），所以可以看作独立的四块，分成4个以（n/2）为边的正方体，每个正方体都是独立的。我发现了一个很简单的规律，拿左上角的大正方体举例，左上角的一个方块是独立的，接下来的与它相挨的三个方块，这三个方块作为一个整体是独立的，他们三个的01分布跟其他部分无关，然后是与这三个相挨的5个……一直到n-1个，就是1，3，5，7，9，...，n-1，堑把这称作“层”。这时问题就转换成了在01限制下，奇数连续的填法。填法其实很简单，把1和3 的列出来就能发现规律了，1的时候是两种"1","0",3的时候可以看作在1的情况下追加两个数,以后的每个奇数都可以看作上一个奇数的追加两个数,这是个很简单的规律,拿3举例,在"1"后面追加有"00""01"两种情况,在"0"后面追加有"00""01""10"三种情况,这就很明显了,我就不继续往下分析了,当这个奇数是2i-1时（第i个奇数时），填法是3^(i-1)+2^(i-1)种（^就是幂，额)，因为每层都是独立的，所以从1到n-1运算出来的结果相乘，再四次幂就是问题的答案了。

对2012取余，上面这个方法涉及的都是加法或者乘法，所以取余没有限制，那么就要选择在恰当的时候对2012取余，因为取余的算法相当于>>>>a%b=a-a/b*b;所以处处都取余是不可取的，我的做法是在定义pow数组的时候取余，我认为这很必要，再就是每次大乘一下都取余一次，我没有验证是否高效。

呼，描述出自己想的真不那么简单啊，还是觉得描述的不那么清晰，毕竟是第一次，见谅。有什么不足，望指点。

下面是我的答案：

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int n;
	int	pow2[2012];//2的n次方对2012取余
	int pow3[2012];//3的n次方对2012取余
	pow2[0]=1;
	pow3[0]=1;
	//初始化那俩pow
	for(int i=1;i<2012;i++)
	{
		pow2[i]=(pow2[i-1]<<1)%2012;
		pow3[i]=(pow3[i-1]*3)%2012;		
	}
	while(cin>>n)
	{
		if(n==0)
		{
			cout<<"0"<<endl;
			continue;
		}
		int num=n>>1;
		int sum = 1;
		int temp;
		for(int i = 0;i<num;i++)
		{
			temp = pow2[i] + pow3[i];
			sum*=temp;
			sum%=2012;
		}
		sum*=sum;
		sum%=2012;
		sum*=sum;
		sum%=2012;
		cout<<sum<<endl;
	}
	return 0;
}

你能发现这个算法的错误在哪儿吗？啊哈

错误出在每次追加两个位数的时候，我把以0结尾的乘2，以1结尾的乘2，其实以0结尾的产生三倍的数，其中三分之二仍以0结尾，另外三分之一以1结尾；而以1结尾的产生两倍于自身的数 产生的数里面以0和1结尾的各一半。可以归纳成斐波那契似的递归规律。

A(1) = 2

A(2) = 5

.

.

A(n) = 3A(n-1) - A(n-2)

B(n) = [A(1)· A(2)····A(n)]^4 mod 2012

#include<iostream>
using namespace std;

int main()
{
	int n;
	int	a[501];
	int b[501];
	a[1]=2;
	a[2]=5;
	b[0]=0;
	b[1]=2;
	b[2]=10;
	//初始化那a
	for(int i=3;i<501;i++)
	{
		a[i]=(a[i-1]*3 - a[i-2])%2012;
		b[i]=(b[i-1]*a[i])%2012;
	}
	while(cin>>n)
	{
		n>>=1;
		int sum = (b[n]*b[n])%2012;
		sum*=sum;
		sum%=2012;
		cout<<sum<<endl;
	}
	return 0;
}