堆(heap)学习-优快云博客

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#好了，作者刚刚学习有所心得，分享一下#

堆的基本概念

堆（Heap）是一种特殊的树形数据结构，它满足以下两个基本特性：

完全二叉树：堆必须是一种完全二叉树，即允许最后一行不满，其他行都要满，最后一行必须从左往右排序，不可留有间隔
堆性质：堆分为两种类型，大根堆和小跟堆。
- 大根堆：堆中任意节点的值总是大于或等于其子节点的值。大根堆的根节点是整个堆中最大的元素。
- 小根堆：堆中任意节点的值总是小于或等于其子节点的值。小跟堆的根节点是整个堆中最小的元素。

大根堆

小根堆

堆的存储

以大根堆为例

首先，我们按照层次遍历的顺序给大根堆的结点进行编号。

从上到下，从左到右，把这些编号对应到这些数组的下标，然后把树的元素存入相应的下标里

因为堆是完全二叉树，所以每个下标和树的每个位置是一一对应的，这样，一个堆就可以用一个一维数组来描述。

从图中可以看出结点下标的规律，若父节点为i,

则左子节点为2*i + 1

右子节点为 2*i + 2

堆的基本操作

插入（Heapify Up）：向堆中添加一个新元素，并保持堆的性质。这通常通过将新元素添加到数组的末尾，然后通过与父节点比较并可能交换位置来实现，直到它不再违反堆的性质。
删除最大（或最小）元素（Heapify Down）：移除堆顶元素（最大或最小），并保持堆的性质。这通常通过将最后一个元素移到堆顶，然后通过与子节点比较并可能交换位置来实现，直到它不再违反堆的性质。
构建堆（Build Heap）：从给定数组构建一个堆。这通常通过从最后一个非叶子节点开始，逐个应用Heapify Down操作来实现。
堆排序（Heap Sort）：利用堆的性质进行排序。首先构建最大堆，然后不断移除堆顶元素并重新构建堆，直到堆为空。

交换位置的操作

上滤

插入新元素一般都放在数组末尾，之后交换位置的过程有“上滤”。

上滤操作通常用于在堆中插入新元素后维护堆的性质。具体步骤如下：

将新元素添加到堆的末尾。
比较新元素与其父节点的值。
如果新元素违反了堆的性质（在最大堆中小于父节点，在最小堆中大于父节点），则与父节点交换位置。
重复步骤2和3，直到新元素不再与其父节点交换位置，或者成为根节点。

这是在原来的基础上插入了一个9，但是，它明显破坏了大根堆的排序的性质，这时候，为了维护堆的性质，我们将进行上滤操作，即让该元素和它的父节点进行比较，如果大于父节点，则交换，即：

若排序后还是破坏了它的堆序性，再次进行排序，即：

这样，就符合堆序性，也就是大根堆的排序方法，这样从下往上移动的方式就叫他上滤。

下滤

再提及一个排序的方法，“下滤”。

下滤操作通常用于删除堆顶元素后维护堆的性质。具体步骤如下：

将堆顶元素（最大或最小元素）与堆的最后一个元素交换位置，然后移除最后一个元素。
比较新的堆顶元素与其子节点的值。
如果新堆顶元素违反了堆的性质（在最大堆中小于子节点，在最小堆中大于子节点），则与较大的子节点（最大堆）或较小的子节点（最小堆）交换位置。
重复步骤2和3，直到新堆顶元素不再与其子节点交换位置，或者成为叶子节点。

我们现在都以大根堆进行演示。

图中我们可以看到，整体来说，该堆是不满足大根堆的堆排序的，但是，根节点的两个子节点却又满足它的堆排序，这样，我们可以进行下滤操作。大根堆的下滤操作是和它的最大子节点进行交换，即：

第一次交换，仍然不满足堆序性，继续交换

这样就满足了堆序性，我们把根节点向下调整的操作叫做下滤。

建堆

如果有乱序的数组，我们该如何将它们建成堆的形式呢？一般有两种方法，即“自顶向下”和“自下而上”。从前面我们讲了上滤和下滤，这两个操作分别对应着这两种方法。

自顶向下建堆法

我们给出一组数组，例如[2,5,7,4,3,9,1]这个乱序组，我们从第一个编号进行插入，然后再插入第二个元素，对这两个元素进行上滤操作，再插入新元素，再上滤操作，以此类推，即：

这就是最后的堆排序

自下而上建堆法

我们仍然以[2,5,7,4,3,9,1]这个数组为例，刚开始，它的堆的形式是：

它的思路是先将下面的元素调整成堆，即

然后再对根节点进行下滤操作，即：

建堆完成。总的来说，自下而上的建堆是比自顶向下快的，因为自下而上的建堆复杂度更低，为O(N),而前者则为O(NlogN)

总结

好了，今天的分享就到此结束吧，这两种方法的代码还未写完，有兴趣的小伙伴可以找一找。

代码补充

自顶向下代码

#include <iostream>
#include <vector>

// 上滤操作函数
void heapifyUp(std::vector<int>& arr, int i) {
    while (i > 0) {
        int parent = (i - 1) / 2;  // 父节点的索引
        if (arr[i] > arr[parent]) {
            std::swap(arr[i], arr[parent]);  // 如果当前节点大于父节点，交换它们
            i = parent;  // 更新当前节点为父节点
        } else {
            break;  // 如果当前节点不大于父节点，停止上滤
        }
    }
}

// 使用上滤方法构建大根堆
void buildHeap(std::vector<int>& arr) {
    for (int i = 0; i < arr.size(); ++i) {
        heapifyUp(arr, i);  // 对每个新插入的元素执行上滤操作
    }
}

int main() {
    std::vector<int> arr;
    int n, element;

    // 获取用户输入的数组大小
    std::cout << "请输入数组的大小: ";
    std::cin >> n;

    // 获取用户输入的数组元素
    std::cout << "请输入数组的元素（用空格分隔）: ";
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::cin >> element;
        arr.push_back(element);
    }

    // 使用上滤方法构建大根堆
    buildHeap(arr);

    std::cout << "构建的大根堆是：\n";
    for (int num : arr) {
        std::cout << num << " ";
    }
    std::cout << "\n";

    return 0;
}

自下而上代码

#include <iostream>
#include <vector>

// 下滤操作，用于维护大根堆的性质
void heapify(std::vector<int>& arr, int n, int i) {
    int largest = i; // 初始化最大值为根节点
    int left = 2 * i + 1; // 左子节点
    int right = 2 * i + 2; // 右子节点

    // 如果左子节点大于根节点
    if (left < n && arr[left] > arr[largest])
        largest = left;

    // 如果右子节点大于目前最大的节点
    if (right < n && arr[right] > arr[largest])
        largest = right;

    // 如果最大的不是根节点
    if (largest != i) {
        std::swap(arr[i], arr[largest]); // 交换

        // 递归地定义子树作为堆
        heapify(arr, n, largest);
    }
}

// 自下而上构建大根堆
void buildHeap(std::vector<int>& arr) {
    int n = arr.size();

    // 从最后一个非叶子节点开始，逐个应用下滤操作
    for (int i = n / 2 - 1; i >= 0; i--)
        heapify(arr, n, i);
}

int main() {
    int n;
    std::cout << "请输入数组的大小: ";
    std::cin >> n;

    std::vector<int> arr(n);
    std::cout << "请输入数组的元素（用空格分隔）: ";
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        std::cin >> arr[i];
    }

    buildHeap(arr); // 构建大根堆

    std::cout << "构建的大根堆是：\n";
    for (int num : arr) {
        std::cout << num << " ";
    }
    std::cout << "\n";

    return 0;
}

#补充完毕，嘿嘿#