斜率优化DP：任务安排1

题目描述

有 $N$ 个任务排成一个序列在一台机器上等待执行，它们的顺序不得改变。

机器会把这$N$ 个任务分成若干批，每一批包含连续的若干个任务。

从时刻$0$开始，任务被分批加工，执行第 $i$ 个任务所需的时间是 $T_i$。

另外，在每批任务开始前，机器需要 S 的启动时间，故执行一批任务所需的时间是启动时间 $S$ 加上每个任务所需时间之和。

一个任务执行后，将在机器中稍作等待，直至该批任务全部执行完毕。

也就是说，同一批任务将在同一时刻完成。

每个任务的费用是它的完成时刻乘以一个费用系数 $C_i$。

请为机器规划一个分组方案，使得总费用最小。

输入格式

第一行包含整数 $N$。

第二行包含整数 $S$。

接下来N行每行有一对整数，分别为 $T_i$ 和 $C_i$，表示第 $i$ 个任务单独完成所需的时间 $T_i$ 及其费用系数 $C_i$。

输出格式

输出一个整数，表示最小总费用。

数据范围

$1\le N\le 5000$,
$0\le S\le 50$,
$1\le T_i,C_i\le 100$

输入样例

5
1
1 3
3 2
4 3
2 3
1 4

输出样例

153

算法思想（动态规划）

根据题目描述，可以将任务划分成若干批，每一批包含连续的若干个任务，且在每批任务开始前，机器需要 $S$ 的启动时间。分析输入样例，可以将任务做如下划分：

此时总费用$=(3+2+3)\times 9+(3+4)\times 13=72+91=163$

也可以将任务做如下划分：

此时总费用$=(3+2)\times 5+(4+2)\times 12+4\times 14=25+72+56=153$，此时总费用最小。

从上述分析可以看出，这是一个典型线性DP求最小值问题。

状态表示

f[i]表示处理完前i个任务，所有方案的最小值

状态计算

不妨设j为前一批的最后一个任务，那么要计算f[i]可以分为下面几部分：

• 处理完前j个任务的最小总代价f[j]
• 完成最后一批任务（$j+1\sim i$），需要花费$Su{m}_{T_i}\times (Su{m}_{C_i}-Su{m}_{C_j})$
  • 其中$Su{m}_{T_i}$表示第i个任务完成的时刻，即$T_i$的前缀和；$Su{m}_{C_i}$表示前i个任务的代价和，即$C_i$的前缀和
• 每一批任务的开始都会增加一个启动时间$S$，这会导致后面所有任务的完成时刻都增加$S$，所以还需要在当前阶段累加对后面所有任务带来的额外影响，即$S\times (Su{m}_{C_n}-Su{m}_{C_j})$

因此，状态转移方程可以表示为：
f[i]=min{f[j]+SumTi×(SumCi−SumCj)+S×(SumCn−SumCj)},0≤j<if[i]= min\{f[j] + Sum_{T_i}\times(Sum_{C_i}-Sum_{C_j})+S\times (Sum_{C_n}-Sum_{C_j})\}, 0\le j \lt if[i]=min{f[j]+SumTi​​×(SumCi​​−SumCj​​)+S×(SumCn​​−SumCj​​)},0≤j<i

时间复杂度

状态数：$n$
状态计算时间复杂度：$O(n)$
总的时间复杂度为：$O(n^2)=O(25,000,000)$

代码实现

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 5010;
LL sumt[N], sumc[N];
LL f[N];

int main()
{
    int n, s;
    cin >> n >> s;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
        cin >> sumt[i] >> sumc[i];
        sumt[i] += sumt[i - 1], sumc[i] += sumc[i - 1]; //前缀和
    }
    //求最小值，要将数组初始化为无穷大
    memset(f, 0x3f, sizeof f);
    f[0] = 0; //初始状态
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = 0; j < i; j ++)
            f[i] = min(f[i], f[j] + sumt[i] * (sumc[i] - sumc[j]) + s * (sumc[n] - sumc[j]));

    cout << f[n] << endl;

    return 0;
}