C++题解：烽火传递——单调队列优化DP

题目描述

烽火台是重要的军事防御设施，一般建在交通要道或险要处。

一旦有军情发生，则白天用浓烟，晚上有火光传递军情。

在某两个城市之间有$n$ 座烽火台，每个烽火台发出信号都有一定的代价。

为了使情报准确传递，在连续 $m$ 个烽火台中至少要有一个发出信号。

现在输入 $n,m$ 和每个烽火台的代价，请计算在两城市之间准确传递情报所需花费的总代价最少为多少。

输入格式

第一行是两个整数 $n,m$，具体含义见题目描述；

第二行 $n$ 个整数表示每个烽火台的代价 $a_i$。

输出格式

输出仅一个整数，表示最小代价。

数据范围

$1\le n,m\le 2\times 10^5$,
$0\le a_i\le 1000$

输入样例

5 3
1 2 5 6 2

输出样例

4

算法思想（DP+单调队列优化）

在某两个城市之间有$n$ 座烽火台，每个烽火台发出信号都有一定的代价，在连续 $m$ 个烽火台中至少要有一个发出信号的情况下，求所需花费的最小总代价，典型的线性DP问题。

状态表示

f[i]表示前i座烽火台在满足条件的情况下，且点燃第i座烽火台时所需花费的最小总代价。

状态计算

必须保证连续 $m$ 个烽火台中至少要有一个发出信号，也就是说可以根据i前面m - 1座烽火台的状态计算出f[i]，那么能转移到$f[i]$的合法状态的区间为$[i-m,i-1]$，因此：

f[i]=min⁡{f[j]}+w[i]f[i]=\min\{f[j]\} + w[i]f[i]=min{f[j]}+w[i]，$i-m\le j<i$。

其中min⁡{f[j]}\min\{f[j]\}min{f[j]}就是求滑动窗口$[i-m,i-1]$的最小值，可以使用单调队列进行优化，均摊时间复杂度为$O(1)$。

初始状态

$f[0]=0$

时间复杂度

$O(n)$

代码实现

#include <iostream>

using namespace std;

const int N = 200010;
//f[i]表示前`i`座烽火台在满足条件的情况下，且点燃第i座烽火台时所需花费的最小总代价。
int f[N]; 
int w[N], q[N];

int main()
{
    int n, m;
    scanf("%d%d", &n, &m);
    
    for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &w[i]);
    
    f[0] = 0; //初始状态
    
    int hh = 0, tt = 0;
    q[tt] = 0; //初始状态入队
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
    {
    	//从i前面的m - 1座烽火台取最值，所以窗口大小为m - 1
        if(hh <= tt && q[hh] + m < i) hh ++;
        
        //状态计算
        f[i] = f[q[hh]] + w[i];
        
        while(hh <= tt && f[q[tt]] >= f[i]) tt --;
        q[++ tt] = i;
    }
    
    //打擂台求出最后一段区间中的最小值
    int res = 1e9;
    for(int i = n - m + 1; i <= n; i ++) res = min(res, f[i]);
    
    cout << res << endl;
    
    return 0;
}