C++题解：大盗阿福——状态机模型

题目描述

阿福是一名经验丰富的大盗。趁着月黑风高，阿福打算今晚洗劫一条街上的店铺。

这条街上一共有 $N$ 家店铺，每家店中都有一些现金。

阿福事先调查得知，只有当他同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，然后警察就会蜂拥而至。

作为一向谨慎作案的大盗，阿福不愿意冒着被警察追捕的风险行窃。

他想知道，在不惊动警察的情况下，他今晚最多可以得到多少现金？

输入格式

输入的第一行是一个整数 $T$，表示一共有 $T$ 组数据。

接下来的每组数据，第一行是一个整数 $N$，表示一共有$N$ 家店铺。

第二行是 $N$ 个被空格分开的正整数，表示每一家店铺中的现金数量。

每家店铺中的现金数量均不超过$1000$。

输出格式

对于每组数据，输出一行。

该行包含一个整数，表示阿福在不惊动警察的情况下可以得到的现金数量。

数据范围

$1\le T\le 50$,
$1\le N\le 10^5$

输入样例

2
3
1 8 2
4
10 7 6 14

输出样例

8
24

样例解释

对于第一组样例，阿福选择第2家店铺行窃，获得的现金数量为8。

对于第二组样例，阿福选择第1和4家店铺行窃，获得的现金数量为10+14=24。

算法思想

一、朴素版线性动态规划

从题目描述可知，当阿福同时洗劫了两家相邻的店铺时，街上的报警系统才会启动，也就是说，阿福在不惊动警察的情况下不能洗劫相邻两家店铺。欲求最多可以得到多少现金，可以使用线性动态规划的思想：

状态表示

f[i]表示洗劫前i家店铺的最大收益

状态计算

因为不能洗劫相邻两家店铺，所以洗劫前i家店铺的最大收益可以分为两种情况：

• 不抢第i家店铺，最大收益为洗劫前i -1家店铺的最大收益
• 抢劫第i家店铺，最大收益为洗劫前i - 2家店铺的最大收益，即不抢劫第i - 1家店铺。

因此状态转移方程可以表示为：f[i] = max(f[i - 1], f[i - 2] + w[i])

初始状态

f[0] = 0, f[1] = w[1]

时间复杂度

$O(n)$

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 100010;
int w[N], f[N];
int main()
{
    int T;
    cin >> T;    
    while(T --)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);        
        for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &w[i]);
        
        f[0] = 0, f[1] = w[1];
        for(int i = 2; i <= n; i ++)
        {
            f[i] = max(f[i - 1], f[i - 2] + w[i]);
        }        
        printf("%d\n", f[n]);
    }    
    return 0;
}

二、状态机模型

使用上述线性动态规划的思想，i阶段的状态与i - 1和i - 2阶段的状态有关。如果想在计算第i阶段的状态时，只考虑i - 1阶段的状态，那么可以使用状态机思想，将每个阶段的状态细分，即每个阶段都有抢和不抢两种状态，如下图所示：

上述状态机描述了三种符合条件的状态转换：

• 从不抢 -> 不抢，即上一家店铺不抢，不抢当前店铺
• 从抢 -> 不抢，即洗劫上一家店铺，不抢当前店铺
• 从不抢 -> 抢，即上一家店铺不抢，洗劫当前店铺

因此，可以使用该状态机模型定义每个阶段的状态，并进行状态计算。

状态表示

f[i][0] 表示在不洗劫第i家店铺的情况下，洗劫前i家店铺的最大收益。
f[i][1] 表示在洗劫第i家店铺的情况下，洗劫前i家店铺的最大收益。

状态计算

f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1])
f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i]

初始状态

f[0][0] = 0, f[0][1] = -INF

时间复杂度

$O(n)$

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int N = 100010, INF = 0x3f3f3f3f;
int w[N], f[N][2];

int main()
{
    int T;
    cin >> T;    
    while(T --)
    {
        int n;
        cin >> n;        
        for(int i = 1; i <= n; i ++) scanf("%d", &w[i]);
        
        f[0][0] = 0, f[0][1] = -INF;
        for(int i = 1; i <= n; i ++)
        {
            f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][1]);
            f[i][1] = f[i - 1][0] + w[i];
        }        
        printf("%d\n", max(f[n][0], f[n][1]));
    }    
    return 0;
}