C++题解——山峰和山谷

该博客介绍了如何运用BFS算法解决一个关于地形分析的问题。给定一个n×n的地图,任务是计算其中的山峰和山谷数量。山峰是高度大于所有相邻格子的区域,山谷则是高度小于所有相邻格子的区域。通过BFS遍历每个连通区域,并检查其相邻格子的高度,可以确定山峰和山谷的数量。博客提供了输入输出样例和时间复杂度分析,并给出了C++代码实现。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

题目描述

小朋友Y特别喜欢爬山,在爬山的时候他就在研究山峰和山谷。

为了能够对旅程有一个安排,他想知道山峰和山谷的数量。

给定一个地图,为Y想要旅行的区域,地图被分为 n×nn×nn×n 的网格,每个格子 (i,j)(i,j)(i,j) 的高度 w(i,j)w(i,j)w(i,j) 是给定的。

若两个格子有公共顶点,那么它们就是相邻的格子,如与 (i,j)(i,j)(i,j) 相邻的格子有(i−1,j−1)(i-1,j-1)(i1,j1),(i−1,j)(i-1,j)(i1,j),(i−1,j+1)(i-1,j+1)(i1,j+1),(i,j−1)(i,j-1)(i,j1),(i,j+1)(i,j+1)(i,j+1),(i+1,j−1)(i+1,j-1)(i+1,j1),(i+1,j)(i+1,j)(i+1,j),(i+1,j+1)(i+1,j+1)(i+1,j+1)

我们定义一个格子的集合 SSS 为山峰(山谷)当且仅当:

  1. SSS 的所有格子都有相同的高度。
  2. SSS 的所有格子都连通。
  3. 对于 sss 属于 SSS,与 sss 相邻的 s′s's 不属于 SSS,都有 wsw_sws>ws′w_s'ws(山峰),或者 ws<ws′w_s<w_s'ws<ws(山谷)。

如果周围不存在相邻区域,则同时将其视为山峰和山谷。

你的任务是,对于给定的地图,求出山峰和山谷的数量,如果所有格子都有相同的高度,那么整个地图即是山峰,又是山谷。

输入格式
第一行包含一个正整数 n,表示地图的大小。

接下来一个 n×n 的矩阵,表示地图上每个格子的高度 w。

输出格式
共一行,包含两个整数,表示山峰和山谷的数量。

数据范围
1≤n≤10001≤n≤10001n1000,
0≤w≤1090≤w≤10^90w109

输入样例1:

5
8 8 8 7 7
7 7 8 8 7
7 7 7 7 7
7 8 8 7 8
7 8 8 8 8

输出样例1:

2 1

输入样例2:

5
5 7 8 3 1
5 5 7 6 6
6 6 6 2 8
5 7 2 5 8
7 1 0 1 7

输出样例2:

3 3

算法思想 BFS

从题目中描述可以发现SSS 为山峰(或山谷)当且仅当:

  1. SSS 的所有格子都有相同的高度。
  2. SSS 的所有格子都连通。
  3. 对于 sss 属于 SSS,与 sss 相邻的 s′s's 不属于 SSS,都有 wsw_sws>ws′w_s'ws(山峰),或者 ws<ws′w_s<w_s'ws<ws(山谷)。

即对于同一个连同区域内(高度相同)的格子,如果比之相邻8个方向的格子都要高,就是山峰;如果之相邻8个方向的格子都要矮,就是山谷。可以使用BFS找到所有连同区域内的格子,然后判断其四周8个向,是否存在更高的格子,如果不存在则这个连通块为山峰;是否存在更矮的格子,如果不存在,则为山谷

在处理过程中,对于没有判断过的连通区域,使用BFS算法,然后累加所有山峰的数量和山谷的数量,即为最后答案。

时间复杂度

O(n2)O(n^2)O(n2)

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;

const int N = 1010;

int g[N][N], st[N][N];
int n;
int q[N * N][2];

void bfs(int x, int y, bool &higher, bool &lower)
{
    int hh = 0, tt = 0;
    q[tt][0] = x, q[tt][1] = y;
    while(hh <= tt)
    {
        x = q[hh][0], y = q[hh][1], hh ++;

        for(int i = x - 1; i <= x + 1; i ++)
            for(int j = y - 1; j <= y + 1; j ++)
            {
                if(i < 0 || i >= n || j < 0 || j >= n) continue;

                if(g[x][y] != g[i][j])
                {
                    if(g[x][y] > g[i][j]) lower = true;
                    if(g[x][y] < g[i][j]) higher = true;
                }
                else if(!st[i][j])
                {
                    q[++ tt][0] = i, q[tt][1] = j, st[i][j] = 1;
                }
            }
    }
}

int main()
{
    cin >> n;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        for(int j = 0; j < n; j ++)
            scanf("%d", &g[i][j]);

    int peak = 0, valley =  0;
    for(int i = 0; i < n; i ++)
        for(int j = 0; j < n; j ++)
            if(!st[i][j])
            {
                bool higher = false, lower = false;
                bfs(i, j, higher, lower);

                if(!higher) peak ++;

                if(!lower) valley ++;
            }
    printf("%d %d\n", peak, valley);
    return 0;
}

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