NOIP2017普及组初赛难点整理

选择题

1. $2017$ 年 $10$ 月 $1$ 日是星期日，$1999$ 年 $10$ 月 $1$ 日是（ ）。
   A. 星期三
   B. 星期二
   C. 星期日
   D. 星期五

【解析】$1999$到$2017$年一共是$18$年，$18\times 365\%7=(18\%7\times 365\%7)\%7=4$，中间有$5$个闰年：$2000,2004,2008,2012,2016$，$(4+5)\%7=2$。也就是说$1999$
年 $10$ 月 $1$ 日多加两天是星期日，那么$1999$ 年 $10$ 月 $1$ 日是星期五。

2. 甲、乙、丙三位同学选修课程，从 $4$ 门课程中，甲选修 $2$ 门，乙、丙各选修 $3$ 门，则不同的选修方案共有（ ）种。

【解析】乘法原理：

• ①甲的方案数：$C_4^2=6$
• ②乙的方案数：$C_4^3=4$
• ③丙的方案数：$C_4^3=4$

乘法原理总的方案数为：$6\times 4\times 4=96$

3. 设 $G$ 是有 $n$ 个结点、$m$ 条边（$n\le m$）的连接图，必须删去 $G$ 的（ ）条边，才能使得 $G$ 变成一棵树。

【解析】$n$个结点的树一定有$n-1$条边，必须从图中删除$m-n+1$条边。

4. 表达式 a*(b+c)*d 的后缀形式是（ ）。

【解析】套括号提取运算符。 ((a×(b+c))×d)，将运算符提取到所在括号的右边：a b c + × d ×

5. 若串 S="copyright"，其子串的个数是（ ）。

【解析】

• 长度为0的子串=1
• 长度为1的子串=9
• …

一共有=1 + 9 + 8 + … + 1 = 46

6. 十进制小数 $13.375$ 对应的二进制数是（ ）。

【解析】整数部分除2取余逆序连接，小数部分乘2取整顺序连接。

7. 设 $A$ 和 $B$ 是两个长为 $n$ 的有序数组，现在需要将 $A$ 和 $B$ 合并成一个排好序的数组，任何以元素比较作为基本运算的归并算法在最坏情况下至少要做（ ）次比较。

【解析】在最坏情况下，$B$中除了最后一个数，每个数都会比较2次，一共 2n - 2次，最后一个数只比较1次，所以结果为2n - 1次

8. 一家四口人，至少两个人生日属于同一月份的概率是（ ）。（假定每个人生日属于每个月份的概率相同且不同人之间相互独立）。

【解析】补集思想 至少两个人生日属于同一月份的概率 = 1 - 所有人的生日都是不同月份的概率。 所有人的生日都是不同月份的概率 = $\frac{P_{12}^4}{12^4}=\frac{55}{96}$。
答案：$1-\frac{55}{96}=\frac{41}{96}$。

问题求解

1. 一个人站在坐标$(0，0)$处，面朝 $x$ 轴正方向。第一轮，他向前走 $1$ 单位距离，然后右转；第二轮，他向前走 $2$ 单位距离，然后右转；第三轮，他向前走 $3$ 单位距离，然后右转……他一直这么走下去。请问第 $2017$ 轮后，他的坐标是：（___ , ___）。
   

【解析】模拟找规律。

• 第①轮：$x=1,y=0$
• 第②轮：$x=1,y=-2$
• 第③轮：$x=-2,y=-2$
• 第④轮：$x=-2,>y=2$
• 第⑤轮：$x=3,y=2$
• 第⑥轮：$x=3,y=-4$
• 第⑦轮：$x=-4,y=-4$
• 第⑧轮：$x=-4,y=4$
• 第⑨轮：$x=5,y=4$ …

每4轮转一圈，第2017轮刚好是从第二象限水平向右走到第一象限，此时：
$x=\lfloor \frac{2017}{2}\rfloor +1$，$y=\lfloor \frac{2017}{2}\rfloor$

2. 如下图所示，共有 $13$个格子。对任何一个格子进行一次操作，会使得它自己以及与它上下左右相邻的格子中的数字改变（由 $1$ 变 $0$，或由 $0 变 $1$）。现在要使得所有的格子中的数字都变为 $0$，至少需要_____次操作。
   

【解析】按照红绿蓝三个格子的顺序进行操作即可。

阅读程序写结果

#include <stdio.h>
int g(int m, int n, int x) {
    int ans=0;
    int i;
    if(n == 1)
        return 1;
    for(i = x; i <= m / n; i++)
        ans += g(m - i, n - 1, i);
    return ans;
}
int main()
{
    int t, m, n;
    scanf("%d%d", &m, &n);
    printf("%d", g(m, n, 0));
    return  0;
}

输入：7 3

【解析】手动模拟递归调用。

答案：8
2.

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;
int main()
{
    string ch;
    int a[200];
    int b[200];
    int n, i, t, res;
    cin >> ch;
    n = ch.length();
    for(i = 0; i < 200; i++) b[i] = 0;
    for(i = 1; i <= n ; i++) {
        a[i] = ch[i-1] - '0';
        b[i] = b[i-1] + a[i];
    }
    res = b[n];
    t = 0;
    for(i = n; i > 0; i--) {
        if(a[i] == 0) t++;
        if(b[i-1] + t < res) res = b[i-1] + t;
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

输入：$1001101011001101101011110001$

【解析】手动模拟。
a[]记录输入的01序列。b[i]表示序列前i个数中1的个数。
变量t记录从序列从后向前（从n到i）中0的个数。
变量res为序列前i-1个数中1的个数和从i到n中0的个数之和的最小值。
1001101011001101101011110001
答案为：11。

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    int x = 1;
    int y = 1;
    int dx = 1;
    int dy = 1;
    int cnt = 0;
    while(cnt != 2) {
        cnt = 0;
        x = x + dx;
        y = y + dy;
        if(x == 1 || x == n) {
            ++cnt;
            dx = -dx;
        }
        if(y == 1 || y == m) {
            ++cnt;
            dy = -dy;
        }
    }
    cout << x << " " << y << endl;
    return  0 ;
}

【解析】手动模拟，找规律

输入：4 3

n = 4, m = 3, dx = 1, dy = 1, x = 1, y = 1
x = 2, y = 2
x = 3, y = 3, dy = -1
x = 4, y = 2, dx = -1
x = 3, y = 1, dy = 1
x = 2, y = 2
x = 1, y = 3, dx = 1, dy = -1, cnt = 2

答案：1 3
输入：2017 1014

n = 2017, m = 1014, dx = 1, dy = 1, x = 1, y = 1
x = 2, y = 2
…
x = 1014, y = 1014, dy = -1
x = 1015, y = 1013
…
x = 2017, y = 1, dx = -1, dy = 1, cnt = 2
答案：2017 1

完善程序

（切割绳子）有 nn 条绳子，每条绳子的长度已知且均为正整数。绳子可以以任意正整数长度切割，但不可以连接。现在要从这些绳子中切割出m条长度相同的绳段，求绳段的最大长度是多少。
输入：第一行是一个不超过 $100$的正整数 $n$，第二行是 $n$ 个不超过 $10^6$ 的正整数，表示每条绳子的长度，第三行是一个不超过 $10^8$ 的正整数 $m$。
输出 ：绳段的最大长度，若无法切割，输出 Failed。

#include <iostream>
using namespace std;
int n, m, i, lbound, ubound, mid, count;
int  len[100]; //绳子长度
int main()
{
    cin >> n;
    count = 0;
    for (i = 0; i < n; i++) {
        cin >> len[i];
        ①;
    }
    cin >> m;
    if (②) {
        cout << "Failed" << endl;
        return 0;
    }
    lbound = 1 ;
    ubound = 1000000 ;
    while (③) {
        mid = ④;
        count =0 ;
        for (i = 0; i < n; i++ )
            ⑤;
        if (count < m)
            ubound = mid - 1 ;
        else
            lbound = mid ;
    }
    cout << lbound << endl;
    return 0;
}

【解析】二分搜索求切割出m条长度相同的绳段的最大长度。
空①，累加所有绳子的长度，答案：count+=len[i]
空②，如果绳子的总长度<m，那么不可能分割。答案：count<m
空③，二分搜索条件，lbound<ubound
空④，取中间值，注意，所有count>=m的情况都可行，要左边区间的最大值，适用二分搜索模板2，答案：(lbound+ubound+1)/2。
空⑤，累加分割的绳子数量，答案：count+=len[i]/m。