[POJ 3737][三分]UmBasketella

最新推荐文章于 2017-10-07 15:58:54 发布

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#poj #三分

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该博客讨论了如何通过三分法解决POJ 3737问题，即给定圆锥表面积找到最大体积。文章介绍了相关数学公式，并解释了由于表面积的约束，实际问题是寻找一个开口向下的单峰函数的最大值。博主提供了问题分析和解决方案，并附上了代码。

题目描述：
题目链接： http://poj.org/problem?id=3737
题目大意：给定圆锥的表面积S ，求这个圆锥的最大体积V ，以及此时它的高h 与底面半径r，答案小数点后保留两位。
样例输入：
30
样例输出：
10.93
4.37
1.55
题目分析：
首先知道以下公式：
$S=π*r*l+π*r^2$
$h=\sqrt{l^2-r^2}$
$V=\frac{1}{3}*π*r^2*h$
可以看出，V 是关于r 的一个二次函数（单峰函数），因此可以三分底面半径，而确定了底面半径，又知道表面积，则其他值都可以依次计算出来，就能计算体积，三分找到最大值。
好吧，细心的同学会发现，貌似V是关于r的开口向上的二次函数，且顶点过原点，只有最小值为0，没有最大值。但实际上，因为S固定，所以h可以用S,r,π表示出来，最后其实是一个开口向下的单峰函数。推演过程如下：
$l=\frac{S}{π*r}-r$
$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{\frac{S^2}{π^2*r^2}-\frac{2*S}{π}}$
$V=\frac{1}{3}*π*r^2*h=\frac{1}{3}*π*r^2*\sqrt{\frac{S^2}{π^2*r^2}-\frac{2*S}{π}}=\frac{1}{3}*r*\sqrt{S^2-2*S*π*r^2}$
PS：本题多组数据。
附代码：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<string>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<ctime>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<iomanip>
#include<algorithm>
using namespace std;

const double pi=acos(-1.0);
const double eps=1e-6;
double s,l,r,mid1,mid2,rr,ll;

double find(double r)
{
    double l=(s-r*r)/r;
    double h=sqrt(l*l-r*r);
    double v=pi*r*r*h/3;
    return v;
}

int main()
{
    //freopen("lx.in","r",stdin);
    //freopen("ans1.out","w",stdout);

    while(scanf("%lf",&s)!=EOF)
    {
        s=s/pi;
        l=0;r=sqrt(s);
        while(r-l>eps)
        {
            mid1=l+(r-l)/3;mid2=r-(r-l)/3;
            double x1=find(mid1);
            double x2=find(mid2);
            if(x1<x2)
            {
                l=mid1;
                rr=mid2;
            }
            else
            {
                r=mid2;
                rr=mid1;
            }
        }
        double ll=(s-rr*rr)/rr;
        double h=sqrt(ll*ll-rr*rr);
        double v=pi*rr*rr*h/3;
        printf("%0.2f\n%0.2f\n%0.2f\n",v,h,r);
    }

    return 0;
}