梯度下降算法原理介绍

本文深入探讨了梯度下降法的基本原理,包括梯度的概念、梯度下降与梯度上升的关系,以及算法的具体实现步骤。文章还讨论了如何通过调整步长和初始值来优化梯度下降算法,以提高搜索效率并避免陷入局部最优解。

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  梯度下降法

  1、梯度:

  在微积分里面,对多元函数参数求偏导数,把求的各参数的偏导数以向量的形式写出来,就是梯度。

  梯度向量从几何意义上讲,就是函数变化增加最快的地方,沿着梯度向量的方向更容易找到函数的最大值,沿着向量相反的方向,梯度减小最快,更容易找到函数最小值。

  2、梯度下降与梯度上升可以互相转化。求损失函数f(θ)的最小值,用梯度下降法迭代,亦可反过来求损失函数 -f(θ)的最大值,用梯度上升法。

  3、梯度下降算法解析

  (1)直观解释

  eg.在一座大山的某一位置,要下山,走一步算一步,每走一步就计算当前位置的梯度,沿着当前梯度的负方向走一步(也就是当前最陡的位置),然后再次计算当前位置,这样一步一步往下走,一直走到觉得已经到了山脚。有可能我们只是到了一个局部山峰底部。所以梯度下降不一定能找到全局最优解,有可能是一个局部最优解。当损失函数是凸函数的时候,梯度下降法所求的解就是全局最优解。

  (2)相关概念

  (i)步长:梯度下降迭代过程中每一步沿负方向前进的长度。

  (ii)特征:样本输入部分,样本(x0,y0),其样本特征为x,输出为y。

  (Iii) 假设函数:在监督学习中,用假设函数拟合输入样本,记为hθ(x)。比如对于样本(xi,yi)。(i=1,2,...n),可以采用拟合函数如下:hθ(x) =θ0+θ1x。

  (iv)损失函数:度量拟合程度,评估模型拟合好坏。损失函数极小化,意味着拟合程度最好,对应的模型参数为最优参数。线性回归中,损失函数通常为样本输出和假设函数的差取平方。

  

 

  (3)算法:

  (i)代数法

  (ii) 矩阵法

  (4)算法调优

  (i)步长选择。

  步长太大,会导致迭代过快,错过最优解;

  步长太小,迭代速度太慢,耗时间太长。

  (ii)初始值选择。

  有可能求的是局部最优解,所以要多次使用不同初始值进行运算,选择损失函数最小化的初始值。

  (iii)将特征数据归一化。

### 梯度下降算法的工作原理 梯度下降是一种用于最小化目标函数的优化方法,广泛应用于机器学习领域。其核心思想是从一个初始点出发,在每一步沿着负梯度方向移动一定步长的距离,逐步逼近最优解的位置[^1]。 #### 数学基础 假设有一个可微分的目标函数 \( f(x) \),其中 \( x \in \mathbb{R}^n \) 是自变量向量。为了找到使 \( f(x) \) 达到局部最小值的点,可以利用梯度的概念。梯度表示函数在某一点的变化率最大的方向,记作 \( \nabla f(x) \)[^2]。 梯度下降的核心在于每次迭代都按照如下规则更新参数: \[ x_{t+1} = x_t - \eta \cdot \nabla f(x_t) \] 这里: - \( x_t \) 表示第 \( t \) 步的参数; - \( \eta \) 称为学习率 (learning rate),控制每一步调整的幅度; - \( \nabla f(x_t) \) 是当前点处的梯度矢量。 当目标函数复杂且无法解析求得极值时,可以通过数值计算的方式寻找近似解。这种方法基于迭代的思想,从任意起点开始不断接近最优点[^3]。 --- ### 不同类型的梯度下降算法 根据数据处理方式的不同,梯度下降分为三种主要形式: #### 批量梯度下降(Batch Gradient Descent) 批量梯度下降使用整个训练集来计算每一次梯度更新所需的平均误差。由于每次都依赖全部样本,因此收敛稳定但效率较低,尤其适用于小型数据集[^2]。 #### 随机梯度下降(Stochastic Gradient Descent, SGD) 随机梯度下降针对单一样本进行梯度估计并完成参数更新。这种方式减少了内存占用和运算时间,但由于噪声较大可能导致震荡现象发生[^2]。 #### 小批量梯度下降(Mini-batch Gradient Descent) 这是前两者的折衷方案,选取部分样本来估算梯度从而平衡速度与稳定性之间的关系。实践中常被推荐作为默认选项之一[^2]。 --- ### 实现流程概述 以下是梯度下降的一般实现框架,以 Python 编程语言为例说明如何操作: ```python import numpy as np def gradient_descent(X, y, learning_rate=0.01, iterations=1000): m, n = X.shape theta = np.zeros(n) # 初始化权重 for _ in range(iterations): predictions = X.dot(theta) errors = predictions - y gradients = X.T.dot(errors) / m theta -= learning_rate * gradients return theta ``` 此代码片段展示了简单的线性回归情境下应用梯度下降的过程,包括初始化参数、循环执行预测、评估偏差以及依据偏导数修正模型系数等内容。 --- ### 总结 综上所述,梯度下降作为一种高效的数值优化工具,在面对高维空间内的非凸问题时常表现出良好性能。然而需要注意合理设置超参比如学习速率以免陷入过拟合或者欠拟合状态之中[^2].
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