七桥问题

七桥问题是著名古典数学问题之一,源自18世纪初柯尼斯堡的七座桥布局。居民们试图找到一种方法,在不重复的情况下走过所有七座桥。1736年,欧拉通过建立数学模型证明了这一走法是不可能的,并给出了连通网络一笔画的充分必要条件。

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七桥问题Seven Bridges Problem

    著名古典数学问题之一。在哥尼斯堡的一个公园里,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来(如图)。问是否可能从这四块陆地中任一块出发,恰好通过每座桥一次,再回到起点?欧勒于1736年研究并解决了此问题,他把问题归结为如下右图的“一笔画”问题,证明上述走法是不可能的。

   有关图论研究的热点问题。18世纪初普鲁士的柯尼斯堡,普雷格尔河流经此镇,奈发夫岛位于河中,共有7座桥横跨河上,把全镇连接起来。当地居民热衷于一个难题:是否存在一条路线,可不重复地走遍七座桥。这就是柯尼斯堡七桥问题。L.欧拉用点表示岛和陆地,两点之间的连线表示连接它们的桥,将河流、小岛和简化为一个网络,把七桥问题化成判断连通网络能否一笔画的问题。他不仅解决了此问题,且给出了连通网络可一笔画的充要条件是它们是连通的,且奇顶点(通过此点弧的条数是奇数)的个数为0或2。
    当Euler在1736年访问Konigsberg, Prussia(now Kaliningrad Russia)时,他发现当地的市民正从事一项非常有趣的消遣活动。Konigsberg城中有一条名叫Pregel的河流横经其中,这项有趣的消遣活动是在星期六作一次走过所有七座桥的散步,每座桥只能经过一次而且起点与终点必须是同一地点。
  Euler把每一块陆地考虑成一个点,连接两块陆地的桥以线表示。  
    後来推论出此种走法是不可能的。他的论点是这样的,除了起点以外,每一次当一个人由一座桥进入一块陆地(或点)时,他(或她)同时也由另一座桥离开此点。所以每行经一点时,计算两座桥(或线),从起点离开的线与最後回到始点的线亦计算两座桥,因此每一个陆地与其他陆地连接的桥数必为偶数。
  七桥所成之图形中,没有一点含有偶数条数,因此上述的任务无法完成.
 欧拉的这个考虑非常重要,也非常巧妙,它正表明了数学家处理实际问题的独特之处——把一个实际问题抽象成合适的“数学模型”。这种研究方法就是“数学模型方法”。这并不需要运用多么深奥的理论,但想到这一点,却是解决难题的关键。

  接下来,欧拉运用网络中的一笔画定理为判断准则,很快地就判断出要一次不重复走遍哥尼斯堡的7座桥是不可能的。也就是说,多少年来,人们费脑费力寻找的那种不重复的路线,根本就不存在。一个曾难住了那么多人的问题,竟是这么一个出人意料的答案!

  1736年,欧拉在交给彼得堡科学院的《哥尼斯堡7座桥》的论文报告中,阐述了他的解题方法。他的巧解,为后来的数学新分支——拓扑学的建立奠定了基础。

### 欧拉问题概述 欧拉问题是图论领域中的经典问题之一,它起源于普鲁士柯尼斯堡市的一条河流及其上的七座梁。该问题的核心在于寻找一种方式能够恰好经过每座一次并返回起点。 #### 问题背景 在18世纪中期,瑞士数学家莱昂哈德·欧拉解决了这一难题,并在此过程中奠定了现代图论的基础。他将城市划分为四个区域(陆地区域),并将这抽象成连接节点的边[^1]。 #### 抽象模型构建 为了便于分析此问题,可以将其化为一个无向图G=(V,E),其中顶点集 V 表示城市的各个部分,而边 E 则代表各座。具体来说: - **顶点 (Vertex)**: 城市被分割出来的不同土地块。 - **边 (Edge)**: 连接两片土地之间的梁。 这种表示方法使得我们可以利用图论工具来探讨是否存在满足条件的路径。 #### 欧拉路径定义及判定准则 所谓欧拉路径是指在一个连通图中存在一条遍历所有边仅一次的道路;如果这条道路还能回到出发点,则称为闭合欧拉回路。对于任意给定简单图而言, - 如果有零个奇度数结点,则必有一条完整的欧拉环游; - 若恰有两个奇次节点,则可以从其中一个作为始端走到另一个末端完成单程旅行。 然而,在原始版本下的“柯尼斯堡”案例里,由于出现了超过两个具有奇数关联线数目之处(实际上共有四处),所以根本不可能实现上述目标——即无法一次性走完全部梁而不重某些路段。 以下是验证过程的一个Python程序片段用于判断输入图形是否含有合法欧拉迹: ```python def has_euler_path(graph): odd_degree_count = sum([1 for node, degree in graph.degree() if degree % 2 != 0]) if odd_degree_count == 0 or odd_degree_count == 2: return True else: return False ``` 以上函数通过统计图中具奇数度节点的数量决定其能否形成有效的欧拉轨迹。
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