OFDM中采样频率与带宽的关系

1、LTE中OFDM相关参数

  在LTE系统中，基波频率和子载波间隔为15 kHz。在带宽为20 MHz的情况下，采用2048点的IFFT或FFT分别生成或接收OFDM符号。OFDM符号在频带上有2048个子载波，只有中间1200个子载波承载数据，两边的子载波作为保护带。一个OFDM符号要保证基波是一个完整周期，那么OFDM符号的符号周期为$\frac{1}{15\text{kHz}}\approx 66.67\text{μs}$。在一个OFDM符号周期内有2048个采样点，采样频率为$15\text{kHz}\times 2048=30.72\text{MHz}$。LTE的基本时间单位为$T_{\text{s}}=\frac{1}{30.72}\text{μs}$

2、OFDM信号带宽分析

  用30.72 MHz采样频率采样20 MHz带宽的信号似乎不满足奈圭斯特采样定理，其实问题出在了频带信号和基带信号的带宽上面。20 MHz带宽指的是OFDM符号经过上变频（上变频类似QAM调制，实部乘以余弦函数，虚部乘以正弦函数，再二者相减）后的双边带带宽。30.72 MHz采样频率指的是对OFDM基带信号的采样频率。抛开负频率和直流分量，只看正频率部分，基带信号有效的子载波为1024个，有效的带宽只有10 MHz。
  下面用数学公式做简单分析：
  首先定义几个符号，基波频率和子载波间隔均记为$f_{\text{sub}}$，$N$既表示子载波数量也表示一个OFDM符号内的采样点数，采样频率为$f_{\text{s}}=N{f}_{\text{sub}}$。
  用IDFT生成OFDM基带信号的公式为（忽略了常数项系数） $$x[n]=\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{jk\frac{2\pi }{N}n},\text{\hspace{1em}(1)}$$ 其中，$X[k]$表示用于调制正余弦波的QAM符号，$k$索引子载波频率，$j$为虚数单位，$x[n]$表示OFDM符号的第$n$个采样点上的复数值，$n=0,1,\cdots ,N-1$。
  用欧拉公式将复指数展开，公式(1)表示为 $$\begin{array}{rl}x[n]& =\sum _{k=0}^{N-1}X[k]e^{jk\frac{2\pi }{N}n}\\ & =\sum _{k=0}^{N-1}(a[k]+jb[k])(\text{cos}(k\frac{2\pi }{N}n)+j\text{sin}(k\frac{2\pi }{N}n))\\ & =\sum _{k=0}^{N-1}\left(a[k]\text{cos}(k\frac{2\pi }{N}n)-b[k]\text{sin}(k\frac{2\pi }{N}n)\right)+j\left(a[k]\text{sin}(k\frac{2\pi }{N}n)+b[k]\text{cos}(k\frac{2\pi }{N}n)\right).\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$ 由公式(2)可知，公式(1)相当于用$X[k]$作为参数来调制$k$次余弦波和$k$次正弦波。这里的IDFT不是用来做信号分析与处理，而是用于合并各次正交子载波。
  基波频率为$f_{\text{sub}}$，$k$次谐波频率为$k{f}_{\text{sub}}$。当$k$大于$\frac{N}{2}$时，采样频率$f_{\text{s}}$将不再满足奈圭斯特采样定理。然而，我们处理的是离散数字信号，可以注意到：$$\begin{array}{rl}& \text{cos}\left((N-k)\frac{2\pi }{N}n\right)\\ =& \text{cos}\left(2\pi n-k\frac{2\pi }{N}n\right)\\ =& \text{cos}(k\frac{2\pi }{N}n),\end{array}\begin{array}{rl}& \text{sin}\left((N-k)\frac{2\pi }{N}n\right)\\ =& \text{sin}\left(2\pi n-k\frac{2\pi }{N}n\right)\\ =& -\text{sin}(k\frac{2\pi }{N}n).\end{array}$$ 也就是说，$k$次谐波和$N-k$次谐波的余弦表是一样的，$k$次谐波和$N-k$次谐波的正弦表差一个负号。从频域的角度来看，时域采样会使模拟信号的频谱发生周期延拓，且延拓周期为采样频率。频率为$k{f}_{\text{sub}}$的正余弦模拟信号的频谱在频点$\pm k{f}_{\text{sub}}$各有一个冲激响应，以$f_{\text{s}}$采样将使得$k{f}_{\text{sub}}$处的冲激响应延拓至负频率$(k-N)f_{\text{sub}}$处，$-k{f}_{\text{sub}}$处的冲激响应延拓至正频率$(N-k)f_{\text{sub}}$处。
  至此，公式(2)中看似有频率大于$\frac{N}{2}{f}_{\text{sub}}$的子载波存在，实际上所有子载波都可以用1至$\frac{N}{2}$次谐波表示，基带信号的带宽（只看正频率）为$\frac{N}{2}{f}_{\text{sub}}$，以$f_{\text{s}}=N{f}_{\text{sub}}$为采样频率满足奈圭斯特采样定理。将OFDM符号进行上变频后获得频带的双边带信号，上下边带共有$N$个子载波，占用总带宽为$(N+1)f_{\text{sub}}$。

参考文献

[1] 孙宇彤. LTE教程：原理与实现[M]. 北京: 电子工业出版社, 2014.

[2] Sesia S, Toufik I, Baker M. LTE-the UMTS long term evolution from theory to practice[M]. 2nd ed. Chichester: Wiley, 2011.