53. Maximum Subarray

最新推荐文章于 2025-05-15 16:32:28 发布

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本文介绍了一种寻找数组中具有最大和的连续子数组的方法，包括动态规划和分治两种解决方案，动态规划方法通过状态转移方程实现高效计算，而分治方法则将问题分解为较小的子问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
the contiguous subarray [4,-1,2,1] has the largest sum = 6.

题解

求子数组中最大和

动态规划

对每一位，要么加入已有的子数组，要么从该位重新开始记录子数组
状态转移方程：maxSubArray(A, i) = max(maxSubArray(A, i - 1) + A[i]， A[i]），maxSubArray(A，i)即以i为末尾的子数组最大和
时间复杂度O(n),空间复杂度O(n)

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        //dp[i] means the maximum subarray ending with nums[i]
        int dp[n], maxx;
        dp[0] = maxx = nums[0];
        for(int i = 1; i < n; i++){
            dp[i] = max(nums[i] + dp[i-1], nums[i]);
            maxx = max(maxx, dp[i]);
        }
        return maxx;
    }
};

分析状态转移方程，当maxSubArray(A,i)小于0时，就从A[i]重新开始
空间复杂度O(1)

class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size();
        int sum, maxx;
        sum = maxx = nums[0];
        for(int i = 1; i < n; i++){
            sum = nums[i] + (sum < 0 ? 0 : sum);
            maxx = max(maxx, sum);
        }
        return maxx;
    }
};

分治

将数组A分为两个数组A1，A2，则A中子数组最大和就是A1中子数组最大和、A2中子数组最大和、横贯A1、A2的子数组最大和（即以A1最后元素结束的子数组最大和+以A2首元素开始的子数组最大和）中的最大值

l: 从第一个元素开始的子数组最大和
m: 子数组最大和
r: 以最后一个元素结束的子数组最大和
s: 数组所有元素的和

时间复杂度O(logn)，空间复杂度O(n)

struct val {
    int l, m, r, s;
    val(int l, int m, int r, int s):l(l), m(m), r(r), s(s){}
};
class Solution {
public:
    int maxSubArray(vector<int>& nums) {
        val t = findMax(nums, 0, nums.size() - 1);
        return t.m;
    }
private:
    val findMax(vector<int>& nums, int left, int right){
        if(left == right)   return val(nums[left], nums[left], nums[left], nums[left]);
        int mid = left + ((right - left) >> 1);
        val v1 = findMax(nums, left, mid), v2 = findMax(nums, mid + 1, right);
        int l, m, r, s;
        l = max(v1.l, v1.s + v2.l);
        r = max(v2.r, v1.r + v2.s);
        s = v1.s + v2.s;
        m = max(max(v1.m, v2.m), v1.r + v2.l);
        return val(l, m, r, s);
    }
};