【思特奇杯·云上蓝桥-算法集训营】第1周阶乘约数_任意一个正整数 x 都可以表示成若干个质数乘积的形式,即 x = p1α1 p2α2 …-优快云博客

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本文解析如何通过质因数分解法解决100!的约数个数问题，涉及公式应用和代码实现，揭示了从质数分解角度求解复杂阶乘问题的巧妙之处。

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问题描述

定义阶乘 n! = 1 × 2 × 3 × · · · × n。
请问 100! （100 的阶乘）有多少个约数。

思路分析及代码实现

这道题可以说是笑里藏刀，看似很简单，按照正常的思路去写代码，半天也也跑不出来，因此这道题应该利用公式质因数分解来做
先看公式：

数学公式：任意一个正整数 X 都可以表示成若干个质数乘积的形式，即
X = p1^α1 ∗ p2^α2 …… ∗ pk^αk
约数个数= (a1 + 1)(a2 + 1)……(ak + 1)

有了公式做这道题就简单许多，先求每个数的质数，并将所有质数的个数存到字典里，最后所有质数个数+1相乘就完事了，不说废话直接看代码吧。

a = [2]
for i in range(3,101):
    for j in range(2, i):  # 求所有质数
        if i % j == 0:
            break
    a.append(i)
total = 1
dic = {}
for l in a:
    dic[l] = 1
for m in range(2, 101):  # 将2-100分解成质数相乘形式，重复的质数个数+1
    for n in a:
        if n > m:
            break
        while m % n == 0:
            m = m // n
            dic[n] += 1
for v in dic.values():  # 将所有质数个数+1然后相乘，一开始设置的个数已经+1了，所以这里可以直接乘
    total *= v
print(total)