56、零知识证明与承诺方案的构建与应用

零知识证明与承诺方案的构建与应用

1. 引言

在密码学领域，零知识证明（ZKIP）和承诺方案是非常重要的概念。本文将介绍一种从 ZKIP 构建承诺方案的通用技术，同时探讨相关的定义、假设以及具体的协议实现。

2. 符号与定义

2.1 计算模型

我们的计算模型是概率多项式时间交互式图灵机，包括证明者 P 和验证者 V。共同输入用 z 表示，其长度为 |z| = n。每个机器都有一个辅助输入带，P 的辅助输入为 w，V 的辅助输入为 y（对于诚实的 V，y 为空）。

2.2 相关函数与概率

v(n) 表示一个比任何多项式的倒数消失得更快的函数，即：
[
\forall k \exists N \text{ s.t. } \forall n > N, v(n) < \frac{1}{n^k}
]
可忽略概率是表现为 v(n) 的概率，压倒性概率是表现为 1 - v(n) 的概率。A(z) 表示算法 A 在输入 z 上的输出，若 A 可以抛硬币，则 A(z) 可能是一个随机变量。Vp(z) 表示 V 在参与交互式证明 (P, V) 后对输入 z 的输出。M(z, A) 表示算法 M 在输入 z 上的输出，其中 M 可以将算法 A 作为子例程使用。

2.3 见证集

设 L 是由多项式时间非确定性图灵机 ML 接受的 NP 语言。计算路径是 ML 做出的一系列非确定性选择。ML 在输入 z ∈ L 上的接受计算路径集称为 z 的见证集，记为 w(z)。

2.4 交互式知识证明系统

对