22、依赖类型与等逻辑空间中的连续泛函

依赖类型与等逻辑空间中的连续泛函

1. 引言

近年来，人们对理解域的整体性概念产生了浓厚兴趣。整体性是终止性的语义类比，研究它不仅有助于理解程序的终止特性，还能了解程序等价性概念如何依赖于终止假设。此外，研究域上的整体性还能推广Kleene和Kreisel提出的有限类型全连续泛函层次结构。

不同计算模型之间的关系也很重要。许多结果表明，Kleene - Kreisel泛函在各种计算模型中都会出现，这证明了这类泛函是高阶计算的重要且稳健的模型。之前的研究将具有整体性的域与等逻辑空间联系起来，本文则将这些结果扩展到依赖类型。

具体来说，这里的域是代数的、可数基的、一致完备的dcpos。由于域是可数基的，我们只需考虑可数基的等逻辑空间，它构成了所有等逻辑空间范畴的一个全局部笛卡尔闭子范畴。可数基等逻辑空间范畴等价于非类型化λ - 演算的图模型Pω上的适度集范畴Mod(Pω)，因此域论中的依赖类型全连续泛函与实现拓扑RT(Pω)中的泛函相同。

2. 技术工作概述

可数基等逻辑空间范畴等价于PER(ωALat)，即可数基代数格上的部分等价关系范畴。我们将重点放在PER(ωALat)上，并记Equ = PER(ωALat)。

如果M是域D的一个余稠密子集，那么限制在M上的一致性关系↑是D上的一个部分等价关系。因此，域D的余稠密子集可以看作是在代数格D⊤（即域D加上一个紧凑的顶元素⊤）上由M上的一致性关系诱导的部分等价关系。

设F = (|F|, ∥F∥)是D = (|D|, ∥D∥)上的一个稠密、余稠密且一致的整体性，即(|F|, |D|)是域|D|上的一个一致参数化，∥D∥⊆|D|是|D|上的一个稠密且余稠