Transformer数学推导——Q44 推导相对位置编码的增量更新公式（用于流式推理）

该问题归类到Transformer架构问题集——位置编码——相对位置编码。请参考LLM数学推导——Transformer架构问题集。

在自然语言处理的高速赛道上，流式推理如同敏捷的 “短跑选手”，追求快速响应与实时处理。而相对位置编码的增量更新公式，就是赋予这位 “选手” 强大爆发力的关键训练秘籍。接下来，我们将深入推导这个公式，如同拆解精密仪器一般，探索其如何在流式推理中实现高效的位置信息处理。

1. 流式推理与相对位置编码背景

1.1 流式推理的特点与需求

流式推理，顾名思义，就像潺潺流动的溪水，数据如水流般连续不断地输入模型，模型需即时处理并输出结果，对实时性和高效性要求极高。在语音识别、实时翻译、智能客服等场景中，用户的输入是动态变化的，模型必须迅速响应，在极短时间内给出合理反馈。例如在实时翻译场景中，用户每说出一个词或一句话，翻译模型就要立刻进行处理并输出译文，稍有延迟就会影响用户体验。

1.2 相对位置编码的基础概念

相对位置编码摒弃了绝对位置编码为每个位置赋予固定向量的方式，转而聚焦于位置之间的相对关系。它通过特定的计算方式，将位置间的距离、顺序等信息融入到模型的计算中，使模型能够更好地理解文本的结构和语义。在自注意力机制计算注意力分数时，相对位置编码产生的偏置项会参与其中，调整不同位置信息的权重，从而帮助模型捕捉长距离依赖和局部语义关联 ，就像我们阅读文章时，会自然关注句子中词语的相对位置来理解含义。

2. 传统相对位置编码在流式推理中的困境

在传统的相对位置编码应用中，当处理新的输入数据时，模型往往需要重新计算整个序列的位置编码信息。这就好比每次有新的客人来到餐厅，服务员都要重新布置整个餐厅的桌椅，效率极低。在流式推理场景下，数据是逐个或逐段不断输入的，如果每次都重新计算全部位置编码，会产生大量的重复计算，浪费计算资源和时间，无法满足流式推理实时性的要求。

例如，在处理一段不断增长的对话文本时，每增加一句话，都重新计算整个对话的相对位置编码，会导致模型处理速度跟不上对话的输入速度，出现明显的延迟，严重影响用户体验。因此，我们迫切需要一种增量更新的方法，让模型能够高效处理不断涌入的数据。

3. 相对位置编码的增量更新公式推导

3.1 符号定义与前提假设

设当前已处理的序列长度为 t，新输入的元素位置为 t + 1。查询向量表示为 ，键向量表示为 ，相对位置编码产生的偏置项为 ，注意力分数为&nbs