8、强化误差估计：理论、方法与性能分析

强化误差估计：理论、方法与性能分析

1. 高斯强化误差估计

在误差估计领域，当强化核为零均值多元高斯密度时，会带来一些特殊的性质和分析方法。零均值多元高斯密度的表达式为：
[
f_{\diamond i}(x) = \frac{1}{\sqrt{(2\pi)^d \det(C_i)}} \exp\left(-\frac{1}{2} x^T C_i^{-1} x\right)
]
其中，核协方差矩阵 (C_i) 在每个训练点 (X_i) 原则上可以不同。如果分类规则由线性判别产生（如线性判别分析（LDA）、线性支持向量机（SVM）、感知机等），那么对于相关积分就可能有简单的解析解。

1.1 定理阐述

设 (\Psi_n) 是一个线性分类规则，定义为：
[
\Psi_n(S_n)(x) =
\begin{cases}
1, & a_n^T x + b_n \leq 0 \
0, & \text{otherwise}
\end{cases}
]
其中 (a_n \in \mathbb{R}^d) 和 (b_n \in \mathbb{R}) 是基于样本的系数。那么，高斯强化再代入误差估计器可以表示为：
[
\hat{\varepsilon} {br}^n = \frac{1}{n} \sum {i=1}^{n} \left(
\Phi\left(\frac{-a_n^T X_i - b_n}{\sqrt{a_n^T C_i a_n}}\right) I_{Y_i = 0} +
\Phi\