16、密码学中的复合模数与公钥密码系统

密码学中的复合模数与公钥密码系统

1. 复合模数在密码学中的应用

在密码学里，Pohlig - Hellman 密码体制通常使用素数作为模数，但有时使用复合数作为模数可能更方便。比如，当块大小为 2 时，使用 3000 作为模数，或者使用 2626 这样的模数，它们是由多个素数相乘得到的复合数。

使用复合模数进行指数加密没有问题。例如，Alice 想使用模数 2626 和密钥 e = 769 给 Bob 发送消息，她将明文转换为数字后进行 769 次幂运算。
| 明文 | 数字组合 | 769 次幂结果 |
| — | — | — |
| de | 405 | 405 |
| co | 315 | 1667 |
| mp | 1316 | 1992 |
| os | 1519 | 817 |
| in | 914 | 1148 |
| gc | 703 | 1405 |
| om | 1513 | 603 |
| po | 1615 | 1615 |
| se | 1905 | 137 |
| rs | 1819 | 1819 |

然而，解密是个问题，这次费马小定理不再适用。以 15 个字母的毛利字母表为例（15 = 3 × 5 是复合数），不是 1 到 14 之间的每个数都能作为好的密钥，只有与 15 的最大公约数为 1 的数才行，比如 2。
| 明文 | 数字 | 乘 2 后 | 密文 |
| — | — | — | — |
| a | 1 | 2 | E |
| e | 2 | 4 | I |
| h |