25、傅里叶相关变换：原理、算法与实践

傅里叶相关变换：原理、算法与实践

1. 离散余弦变换（DCT）和离散正弦变换（DST）概述

离散余弦变换（DCT）和离散正弦变换（DST）虽并非离散傅里叶变换（DFT），但可借助 DFT 进行计算。不过，它们不能像 DFT 那样，通过将变换后的频谱相乘再进行逆变换来直接实现快速卷积，即卷积定理对它们并不适用。

DCT 和 DST 的应用范围不如快速傅里叶变换（FFT）广泛，但在某些领域，如图像压缩中，DCT 因其与卡胡南 - 洛埃夫变换（KLT）的紧密联系而备受青睐。由于 DCT 和 DST 由正弦和余弦“核”定义，它们与 DFT 关系密切。

所有 DCT 都遵循以下变换模式：
[X[k] = \sum_{n} x[n]C_{n,k}^{N} \leftrightarrow x[n] = \sum_{k} X[k]C_{n,k}^{N}]

不同类型的 DCT 核函数定义如下：
| DCT 类型 | 核函数 (C_{n,k}^{N}) 定义 |
| ---- | ---- |
| DCT - I | (\sqrt{\frac{2}{N}}c[n]c[k] \cos(\frac{nk\pi}{N}))，(n, k = 0, 1, \cdots, N) |
| DCT - II | (\sqrt{\frac{2}{N}}c[k] \cos(\frac{k(n + \frac{1}{2})\pi}{N}))，(n, k = 0, 1, \cdots, N - 1) |
| DCT - III | (\sqrt{\frac{2}{N}}c[n] \cos(\frac{n(k + \frac{1}{2})\pi}