24、快速傅里叶变换（FFT）算法详解

快速傅里叶变换（FFT）算法详解

1. 傅里叶变换基础

傅里叶变换在信号处理领域有着至关重要的地位。在相关理论中，有公式 (W_{Nl} = C_l \times B_l \times A_l) ，其中 (A_l) 包含输入加法，(B_l) 是带有傅里叶系数的对角矩阵，(C_l) 包含输出加法。不过，这种矩阵表示方式使得短卷积算法的确切步骤定义变得不那么容易，因为输入和输出加法的计算顺序信息丢失了。

Rader 算法和短 Winograd 卷积的结合，也就是 Winograd DFT 算法，后续会和索引映射一起用于引入 Winograd FFT 算法。在已知的所有 FFT 算法中，Winograd FFT 算法的实乘法次数最少。

2. 快速傅里叶变换（FFT）算法概述

FFT 算法的分类依据是 Burrus 提出的输入和输出序列的不同（多维）索引映射。一般来说，将长度为 (N) 的 DFT 变换为多维 (N = \prod_{l} N_l) 表示，通常讨论两因子情况就足够了，因为更高维度可以通过迭代替换其中一个因子来构建。

我们通过以下变换来处理（时间）索引 (n)：
(n = An_1 + Bn_2 \mod N)，其中 (0 \leq n_1 \leq N_1 - 1)，(0 \leq n_2 \leq N_2 - 1)，(N = N_1N_2)，(A)、(B \in Z) 为待定义常数。利用这个索引变换，可构建数据的二维映射 (f : C^N \to C^{N_1\times N_2}) 。

对输出（频率）域应用另一个索引映射 (k) 可得：
(k = Ck_1 + Dk_2 \mod N)