36、量子计算机的要求与概率量子计算的线性光学实现

量子计算机的要求与概率量子计算的线性光学实现

1. 量子计算机对布尔函数的计算

1.1 布尔函数的电路规模

对于绝大多数布尔函数 (f : {0, 1}^n \to {0, 1})，目前除了查询查找表外，没有更好的“计算”方法。Claude Shannon通过简单的门计数论证表明，几乎任何布尔函数的电路规模下限为 (2^n/n)，即 (\Omega(2^n/n))。但我们关注的是一小部分不适用此界限的布尔函数，它们的电路有可识别的模式。

任何算法都可以由一系列电路 ((C_1, C_2, C_3, \ldots)) 表示，其中电路 (C_n) 作用于所有 (n) 位的可能输入实例。一个有用的算法应该有一个统一的电路族，由示例电路 (C_n) 和一个简单规则来描述如何从 (C_n) 构建 (C_{n + 1})。若算法具有统一且多项式规模的电路族，则被认为是高效的。

1.2 量子计算布尔函数的特点

量子计算布尔函数的有趣之处在于它对不同输入 (x) 的叠加态的作用，例如：
[
\frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x} |x\rangle|0\rangle \to \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x} |x\rangle|f(x)\rangle
]
这可以在一次运行中为所有 (x) 生成 (f(x))，但问题较为复杂。我们无法从纠缠态 (\sum_{x} |x\rangle|f(x)\rangle) 中获取所有 (f(x)) 的值，因为对前 (n) 个量子比特逐位测量只会得到一个特定的值 (x’\in{0, 1}^n)，最终量子比特的值为 (f(x’) \i