33、量子计算机的要求及经典计算理论的局限

量子计算机的要求及经典计算理论的局限

1. 计算与物理的关联

传统观念里，经典计算理论常被认为与物理无关，像图灵、丘奇、波斯特和哥德尔等先驱凭借直觉构建了该理论，这使得人们误以为其基础是不言而喻且纯粹抽象的。但实际上，计算机是物理对象，计算是物理过程。当我们对物理现实的认知提升时，也可能获得改进计算知识的新方法。量子力学的发现就改变了我们对计算本质的理解。

2. 经典世界中的比特与概率

2.1 比特运算与布尔函数

我们通常把计算看作对抽象符号的操作。任意有限符号集称为字母表，字母表中符号的有限序列称为字符串。这里我们使用二进制字母表 {0, 1}，长度为 n 的所有 2ⁿ 种可能二进制字符串的集合记为 {0, 1}ⁿ。二进制数字的加法（⊕）和乘法（×）规则如下：
| 加法（⊕） | 结果 | 乘法（×） | 结果 |
| — | — | — | — |
| 0 ⊕ 0 | 0 | 0 × 0 | 0 |
| 0 ⊕ 1 | 1 | 0 × 1 | 0 |
| 1 ⊕ 0 | 1 | 1 × 0 | 0 |
| 1 ⊕ 1 | 0 | 1 × 1 | 1 |

加法也称为逻辑异或（XOR），乘法称为逻辑与（AND，∧）。对于两个二进制字符串 x 和 y，可逐位相加，例如 x = 0110，y = 1100，则 x ⊕ y = 1010，且对于任意二进制字符串 x，x ⊕ x = 0。我们还可将 n 位字符串视为 n 个二进制分量的向量，并按标准规则定义内积，如 x · y = (0110) · (1100) = 1。

从数学角度看，计算机是评估函数 f :