10、量子算法：从Shor到最新进展

量子算法：从Shor到最新进展

1. Shor因子分解算法

1.1 从Simon算法到Shor算法

Shor算法的核心在于将因子分解问题转化为周期查找问题。给定一个函数 $f: Z \to Z$ 和整数 $N$，若存在周期 $a \leq N$，使得对于所有 $x, y$，$f(x) = f(y)$ 当且仅当 $y \in {x, x \pm a, x \pm 2a, …}$，则需要找到这个周期 $a$。

1.2 从因子分解到周期查找的转化

假设要分解数字 $N$，步骤如下：
1. 验证 $N$ 为奇数且不是质数的幂。
2. 随机选择 $1 < y < N$，使用欧几里得算法计算 $GCD(y, N)$。
- 若 $GCD(y, N) > 1$，则找到 $N$ 的一个非平凡因子。
- 否则，$y$ 生成模 $N$ 的乘法群，其阶由 $N$ 的因子决定。函数 $f_y(x) = y^x \mod N$ 的周期 $a$ 是使得 $y^a \equiv 1 \mod N$ 的最小整数。
3. 调用周期查找算法确定 $a$。
- 若 $a$ 为偶数，且 $N \nmid (y^{\frac{a}{2}} + 1)$，则 $N$ 与 $(y^{\frac{a}{2}} \pm 1)$ 有公因子，可通过计算 $GCD(N, y^{\frac{a}{2}} - 1)$ 找到。

1.3 量子傅里叶变换（QFT）

QFT 定义为：$QFT : |x\rangle \to \frac{1}{\sqrt{M}} \sum_{y \in Z_M} \ome