算法设计与分析部分算法思想总结

最新推荐文章于 2025-11-24 15:27:16 发布

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#算法

翻到了上学期整理的一些算法设计与分析的算法，考之前扫几眼还是有点用的hh

第一章主要是介绍算法的定义巴拉巴拉就跳过啦

第二章：递归与分治

1. 递归算法

算法/问题	核心思想	关键公式/步骤	时间复杂度	经典例题
阶乘	分解为n×(n-1)!	`fact(n)=n*fact(n-1)`，初始`fact(1)=1`	O(n)	计算5!
斐波那契	分解为F(n-1)+F(n-2)	`F(n)=F(n-1)+F(n-2)`，初始`F(0)=0,F(1)=1`	O(2ⁿ)	求F(10)
汉诺塔	分三步移动n个盘	`T(n)=2T(n-1)+1`，初始`T(1)=1`	O(2ⁿ)	移动3个盘的最小步骤
全排列	交换+递归剩余元素	回溯法：固定首位，递归生成剩余排列	O(n!)	生成[1,2,3]的全排列
整数划分	按是否包含m划分	`P(n,m)=P(n-m,m)+P(n,m-1)`	O(2ⁿ)	将5划分为正整数之和

2. 分治算法

算法	分治策略	主定理应用	时间复杂度	关键步骤
二分搜索	每次比较中间元素	T(n)=T(n/2)+O(1) → 情况2	O(logn)	有序数组查找target
大整数乘法	分块计算+合并	T(n)=3T(n/2)+O(n) → 情况1	O(n^1.59)	计算1234×5678（分治优化）
合并排序	分半排序+合并	T(n)=2T(n/2)+O(n) → 情况2	O(nlogn)	对[5,2,4,7]排序
快速排序	划分+递归左右子数组	最坏O(n²)（已排序），平均O(nlogn)	O(nlogn)	选择枢轴（随机化避免最坏情况）
最近点对	分治+中间带扫描	T(n)=2T(n/2)+O(n) → 情况2	O(nlogn)	二维平面找最近两点（鸽巢原理证7个点）

第三章：动态规划（DP）

1. 通用解题框架

定义状态：明确dp[i][j]的含义（如dp[i][j]表示子串i到j的最优解）
状态转移：根据子问题关系列方程（如dp[i][j] = min(dp[i][k]+dp[k+1][j]+cost)）
初始化：边界条件（如dp[i][i]=0）
填表顺序：通常自底向上（如按子问题规模从小到大）
追踪解：逆向回溯决策路径（如背包问题逆推物品选择）

2. 经典DP问题详解

问题	状态定义	状态转移方程	填表示例	时间复杂度
矩阵连乘	`m[i][j]`：矩阵i到j的最小乘法次数	`m[i][j]=min{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]p[k]p[j]}`	下三角矩阵逐行填	O(n³)
LCS	`dp[i][j]`：X[0..i]和Y[0..j]的最长公共子序列长度	`dp[i][j] = dp[i-1][j-1]+1`（若X[i]=Y[j]） `else max(dp[i-1][j], dp[i][j-1])`	二维表从左到右填	O(mn)
最大子段和	`dp[i]`：以i结尾的最大子段和	`dp[i]=max(nums[i], dp[i-1]+nums[i])`	一维数组线性扫描	O(n)
0/1背包	`dp[i][w]`：前i件物品容量w的最大价值	`dp[i][w]=max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-wt[i]]+val[i])`	二维表从左上到右下填	O(nW)
最优二叉搜索树	`dp[i][j]`：关键字i到j的最小搜索代价	`dp[i][j]=min{dp[i][k-1]+dp[k+1][j]}+sum(p[i..j])`	对角线填充	O(n³)

3. DP优化技巧

滚动数组：空间优化（如背包问题用一维数组）
备忘录法：记忆化搜索（如斐波那契数列缓存中间结果）
四边形不等式：优化矩阵连乘的k取值范围

第四章：贪心算法

1. 贪心选择性质证明方法

交换论证：假设存在更优解，通过交换元素导出矛盾
归纳法：证明每步选择不破坏全局最优性
拟阵理论：子集系统的遗传性和交换性

2. 典型贪心算法

问题	贪心策略	算法步骤	时间复杂度	正确性证明关键
活动安排	按结束时间升序选择相容活动	1. 排序活动 2. 选择最早结束且不冲突的活动	O(nlogn)	反证法：若存在更优解可交换调整
分数背包	按价值/重量比降序装填	1. 计算性价比 2. 尽可能多装最高性价比物品	O(nlogn)	显然最优
哈夫曼编码	合并频率最低的节点	1. 建最小堆 2. 每次取两最小节点合并	O(nlogn)	最优前缀码性质（左0右1）
Dijkstra算法	每次选择未处理的最近节点松弛邻边	1. 初始化dist数组 2. 优先队列选择最小dist节点 3. 松弛操作	O(E+VlogV)	归纳法证每次选择最短路径
Prim算法	从任意点出发扩展最小边	1. 维护候选边集 2. 每次选连接树的最小边	O(E+VlogV)	割性质（最小边必在MST中）
Kruskal算法	按边权升序选择不形成环的边	1. 排序所有边 2. 用并查集避免环	O(ElogE)	归纳法证每次选择安全边

3. 贪心 vs DP对比

特性	贪心算法	动态规划
适用条件	局部最优=全局最优	最优子结构+重叠子问题
计算效率	通常更高（O(nlogn)）	通常较高（O(n²)或O(n³)）
典型问题	活动安排、哈夫曼编码	背包问题、LCS
解的正确性	需严格证明	由状态转移保证

高频考点速查表

必考推导
- 主定理应用（如归并排序的复杂度推导）
- 背包问题的填表（如给定物品和容量，求最大价值）

必背伪代码（不全，重点是理解）

# 快速排序分区（Partition）
def partition(arr, low, high):
    pivot = arr[high]
    i = low - 1
    for j in range(low, high):
        if arr[j] <= pivot:
            i += 1
            arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]
    arr[i+1], arr[high] = arr[high], arr[i+1]
    return i+1