Transformers是如何学习基本的加减乘除的？

数学，特别是算术，本质上是由一系列简单的函数构成，这些函数可以看作是特定的模式。而Transformer模型则是一个强大的模式识别系统，它通过对输入和输出的关系进行建模，试图学习并复现这些模式。因此，训练Transformer模型来执行基本的数学运算是一个非常有趣的尝试。

概念验证

算术运算通常非常简洁，每个算式的长度通常不会超过17个字符，而Transformer的嵌入层具备足够的表达能力来处理这些简短的算式。在初步的实验中，使用了一个包含200万参数的Transformer模型，目标是让模型学习最基础的“加1”运算。

实验结果非常出色。在训练的前10步，损失值就从初始的高值下降到0.0425，经过100步后，损失值稳定在0.03左右，几乎达到了理想状态。这表明Transformer能够迅速掌握简单的算术规律。

以下是模型在训练过程中生成的一些加1示例：

4719+1=4720
4720+1=4721
4721+1=4722
4722+1=4723
4723+1=4724
4448+1=4449
4449+1=4450
4450+1=4451
4451+1=4452
4452+1=4453
4453+1=4454

损失曲线

算术运算的进一步探索

在完成简单的“加1”运算并取得令人满意的结果后，实验进一步扩展至更复杂的算术操作，包括加法、减法、乘法和除法。每种算术操作均使用了规模庞大的数据集（1亿个示例）进行训练，以下是对不同算术运算任务的训练结果及分析：

加法

加法任务的训练过程相比“加1”稍显复杂，损失值下降速度较慢，但在约5000步后趋于平稳，最终达到1.1。以下是模型在加法任务中的部分示例输出：

6719+6207=12926
9472+8559=18031
8079+3103=11182
9483+9138=18621
8133+6652=14785
5478+4446=9924
4076+3936=7012
1599+7550=9049
4721+7543=12264
8487+4040=12527
6258+8013=14271
4860+8373=13233
1286+8721=10007
298+9025=9323

观察：

• • 大多数情况下，模型能够生成准确的加法结果，尤其是在小数值范围内表现优异。
• • 随着数值变大或样本间存在复杂关系时，偶尔出现错误，但总体表现稳定且接近实际值。

减法

减法任务的训练表现略逊于加法，损失值收敛至约1.3，整体表现尚可。以下是一些示例输出：

4529 -2147=2382
8376-4298=4078
1208-987=221
6792-7456=-664  

观察：

• • 减法结果大多正确，但偶尔会出现误差或符号问题。
• • 适当调整数据分布或模型结构，可能进一步提升对负值与边界情况的处理能力。

乘法

在乘法任务中，模型的训练收敛较快，损失值在2000步时下降至约1.6，5000步后稳定在1.48。以下为部分训练结果示例：

680*258=173440 (真实答案是175440，差1位)
7412*2528=18716036
12*1307=9162084

观察：

• • 模型在乘法任务上的表现令人惊喜，对大数计算的精度较高。
• • 少量误差通常集中在个位或进位问题上，优化模型参数可能进一步改善精度。

除法

除法任务是所有算术运算中最具挑战性的，模型损失值在初期较高（约2.8），收敛速度显著慢于其他运算。以下是部分示例：

9137 ÷7041=1.2998
9636÷494=19.5
2498÷8702=0.287  

观察：

• • 除法结果中，整数部分的表现尚可，但处理小数点后位数和精度时，模型显得不足。
• • 浮点数学习难度较高，模型在除法任务中常生成噪声，尤其是在复杂分母场景下。

RASP vs Transformer

RASP (Random Access Sequence Processing) 是一种为 Transformer 提供解释性基础的简化编程模型，可以被视为适用于 Transformer 的图灵机。它强调对序列操作的灵活性，适用于构建和解释复杂的操作逻辑，如加法、减法等基本算术运算。

Transformer 是一种基于注意力机制的深度学习架构，广泛应用于自然语言处理和序列建模任务。尽管其强大的学习能力适用于许多复杂任务，但在某些数学运算（如精确的加减乘除）上，仍面临挑战，尤其是涉及精确条件分支（如借位、进位）时。

加法

加法的逻辑较为直观，主要通过以下步骤完成：

1. \1. 序列反转：将数字序列从右至左排列，便于逐位计算。
2. \2. 逐位求和：处理当前位的数值，并加上进位。
3. \3. 处理进位：确保每位数字都在 0-9 范围内，额外的进位传递到更高位。
4. \4. 反转结果：将结果反转回标准形式。

伪代码：

num1 = [1, 2, 3]  # 表示数字123
num2 = [4, 5, 6]  # 表示数字456
rev1 = reverse(num1)  # [3, 2, 1]
rev2 = reverse(num2)  # [6, 5, 4]
pairs = zip(rev1, rev2)  # [(3, 6), (2, 5), (1, 4)]
sum_digits = map(add, pairs)  # [9, 7, 5]
carry = 0
final_sum = []
for digit in sum_digits:
    digit += carry
    carry = digit // 10  # 获取进位
    final_sum.append(digit % 10)  # 获取当前位
result = reverse(final_sum)  # [5, 7, 9]

观察：

• • RASP 实现难度：操作清晰，层次简单，易于通过直接逻辑完成。
• • Transformer 表现：学习进位规则时表现较好，模型能够迅速收敛。

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减法

减法需要额外考虑正负号和借位问题：

1. \1. 比较大小：判断被减数与减数的大小，决定结果的正负号。
2. \2. 逐位减法：从最低位开始，逐位减去，并处理借位。
3. \3. 借位逻辑：如果当前位结果小于 0，则从更高位借 1，并调整当前位的值。

伪代码：

num1 = [1, 2, 3]
num2 = [4, 5, 6]
if num1 >= num2:
    sign = 1
    larger, smaller = num1, num2
else:
    sign = -1
    larger, smaller = num2, num1

rev_larger = reverse(larger)
rev_smaller = reverse(smaller)
diffs = map(sub, rev_larger, rev_smaller)  # [7, 7, 3]
borrow = 0
final_diff = []
for digit in diffs:
    digit -= borrow
    if digit < 0:
        digit += 10
        borrow = 1
    else:
        borrow = 0
    final_diff.append(digit)
if sign == -1:
    final_diff.append('-')
result = reverse(final_diff)

观察：

• • RASP 难度：借位的逻辑复杂性较高，需通过显式状态跟踪完成。
• • Transformer 表现：模型在捕获借位规则时可能遇到困难，损失收敛速度较慢。

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乘法

乘法可以视为多次加法的扩展：

1. \1. 逐位相乘：将被乘数的每一位与乘数的每一位相乘。
2. \2. 处理进位：处理每次相乘后的结果进位。
3. \3. 结果累加：将每次相乘的结果按照权重（位数）累加。

伪代码：

num1 = [1, 2, 3]
num2 = [4, 5, 6]
rev1 = reverse(num1)
rev2 = reverse(num2)
result = [0] * (len(rev1) + len(rev2))
for i, digit1 in enumerate(rev1):
    carry = 0
    for j, digit2 in enumerate(rev2):
        product = digit1 * digit2 + result[i + j] + carry
        result[i + j] = product % 10
        carry = product // 10
    result[i + len(rev2)] += carry
final_result = reverse(result)

观察：

• • RASP 难度：需要嵌套的迭代操作，复杂度较高，但能通过明确逻辑实现。
• • Transformer 表现：模型较易捕获重复加法的模式，因此乘法效果优于减法。

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除法

除法是最复杂的运算，涉及多次减法、判断和商的累积：

1. \1. 模拟长除法：通过多次减法模拟商的生成。
2. \2. 判断条件：比较当前余数是否大于或等于除数。
3. \3. 计算小数部分：在余数存在时，通过多次乘 10 的操作生成小数。

伪代码：

num1 = [1, 2, 3, 4]
num2 = [5, 6]
rev1 = reverse(num1)
rev2 = reverse(num2)
result = []
remainder = rev1
while remainder >= rev2:
    shift = len(remainder) - len(rev2)
    multiple = rev2 + [0] * shift
    remainder = map(sub, remainder, multiple)
    result.append(shift)
remainder = reverse(remainder)
if remainder:
    result.append('.')  # 处理小数
    whilelen(remainder) > 0:
        remainder *= 10
        result.append(remainder // num2)
        remainder %= num2
final_result = reverse(result)

观察：

• • RASP 难度：多层循环嵌套且需处理条件分支，逻辑极其复杂。
• • Transformer 表现：模型对条件判断（如借位）和多分支路径学习效果较差，精度显著下降。

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总体来看，RASP 的实现难度与 Transformer 的学习难度在某种程度上存在相似性。尽管 Transformer 对复杂运算（如除法）的学习能力有限，但相比于 RASP 的层数和操作步骤，Transformer 的局限性显得更为有趣。尤其是对于长除法和余数操作，Transformer 可能由于数据中缺乏充分的显式逻辑提示，而难以正确学习这类任务。某些涉及会计逻辑的复杂任务，也加剧了这种挑战。

具体而言，在代码实现中，任务的复杂性大致呈现为：加法 > 减法 > 乘法 > 除法；

而对于 Transformer 的学习表现，则更倾向于：加法 > 乘法 > 减法 > 除法。

这表明，Transformer 在处理反向逻辑时（如减法中的借位机制，相当于反向的进位）会遇到明显障碍。此外，长除法中包含的大量条件分支（如 if/else 判断）和复杂的操作步骤，使得低层 Transformer 更难以准确推导出计算规律。

结论

通过对Transformer模型的训练和实验，可以看出，在处理加法、减法和乘法等基本算术任务时，Transformer能够取得令人满意的结果。

然而，除法操作仍然是一个挑战，模型在这类运算上表现较差，主要原因在于浮点数运算和除法中产生的复杂性。

参考：https://vatsadev.github.io/articles/transformerMath.html

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