312. 戳气球

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本文探讨了著名的气球戳破问题，通过动态规划方法寻找戳破一系列气球以获得最大分数的最优策略。文章详细解析了状态转移方程，展示了如何避免回溯过程中的依赖性，并提供了两种实现方式的代码示例。

问题

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例子

在这里插入图片描述

思路
回溯时间太久【第一次有n个选择，第二次有n-1个选择，时间为O(n!)】
动态规划【有最字】+分治
区间[i, j] 戳破的气球为k。
k戳破后，区间变成了[i, k) 和(k, j]，即[i, i+1, … k-1, k+1, …j]，那么k+1啥时候戳破对[i, k)的结果有影响，如果先戳破k-1，再戳破k+1，k-1的右边是k+1，计算时[k-2]*[k-1]*[k+1]，如果先戳破，(k, j]中的k+1，再戳破[i, k)中的k-1，此时k-1右边的变成了k+2，计算时[k-2]*[k-1]*[k+2]
，即左右两边区间的计算产生了依赖。
如何不产生依赖呢？气球k，放在最后戳爆它。
k为区间[i, j]间最后一个戳爆的气球，它把[i, j]分为了[i, k-1]和[k+1, j]两个区间，可分别求出

方法1
$dp[i][j]为[i,j]区间的最大值\\ dp[i][j]=max(dp[i][k-1]+dp[k+1][j]+arr[i-1]*arr[k]*arr[j+1]) ~~i<=k<=j$
方法2
$$

$$

代码

//方法1 自顶向下
class Solution {
    public int maxCoins(int[] nums) {
        //创建虚拟边界
        int[] arr = new int[nums.length+2];
        System.arraycopy(nums,0,arr,1,nums.length);
        
        arr[0]=1;
        arr[arr.length-1]=1;
        
        int[][] dp = new int[arr.length][arr.length];
        return get(arr,1,arr.length-2,dp);

    }
    public int get(int[] arr,int i,int j, int[][] dp) {
        if(i>j) return 0;
        if(dp[i][j]>0) return dp[i][j];
        int max = 0;
        for(int k=i; k<=j; k++) {
            max = Math.max(max, arr[i-1]*arr[k]*arr[j+1]+get(arr, i,k-1,dp)+get(arr,k+1,j,dp));
        }
        dp[i][j]=max;
        return max;
    }
}
//方法2 自下而上
class Solution {
    public int maxCoins(int[] nums) {
        int n = nums.length;
        //创建虚拟边界
        int[] arr = new int[n+2];
        System.arraycopy(nums,0,arr,1,n);
        
        arr[0]=1;
        arr[n+1]=1;
        
        int[][] dp = new int[n+2][n+2];
        
        for(int len = 1; len<=n; len++) {
            for(int i=1; i+len-1<=n; i++) {
                int j = i+len-1;
                for(int k=i; k<=j; k++) {
                    dp[i][j]=Math.max(dp[i][j], arr[i-1]*arr[k]*arr[j+1]+dp[i][k-1]+dp[k+1][j]);
                }
            }
        }
        return dp[1][n];

    }