piggy bank(背包算法)

本文介绍了一种解决存款问题的算法,通过动态规划求解从一组银行存款中找到最接近给定重量的组合,以最小化所需金额。代码实现涉及结构体、数组和两个嵌套循环。

#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const long long int maxi = 9999999999999;
struct bank {
    int value, wei;
};
long long  f[10006];
bank b[505];
int main() {
    int T;
    cin >> T;
    while(T--) {
        int E,F,N,weight;
        cin >> E >> F;
        weight = F - E;
        cin >> N;
        for (int i = 1; i <= weight; i++) f[i] = maxi;
        f[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            cin >> b[i].value >> b[i].wei;
        }
        for (int i = 1; i <= N; i++) {
            for (int j = b[i].wei; j <= weight; j++) {
                f[j] = min(f[j], f[j - b[i].wei] + b[i].value);
            }
        }
        if (f[weight] != maxi) cout << "The minimum amount of money in the piggy-bank is " << f[weight] <<"." << endl;
        else cout << "This is impossible." << endl;
    }
    
}

### 问题描述 SWUST OJ平台上的Piggy-Bank问题通常涉及动态规划中的完全背包问题。题目大意是:给定一个存钱罐的空重量 $ e $ 和满重量 $ f $,以及若干种硬币的价值和重量,每种硬币的数量不限。要求用这些硬币恰好填满存钱罐(总重量为 $ f - e $),使得总价值最小。如果无法恰好填满,则输出“This is impossible.”。 ### 解法分析 此问题是一个典型的**完全背包问题**,其中每个物品可以被无限次使用。为了求解最小价值,可以采用动态规划的方法。 #### 动态规划思路 1. **状态定义**: - 定义数组 `ans[j]` 表示当总重量为 $ j $ 时,所需的最小价值。 - 初始化时,`ans[0] = 0`,其余位置初始化为一个较大的值(如 `inf`),表示无法达到该重量。 2. **状态转移**: - 对于每个硬币,重量为 `weight[i]`,价值为 `value[i]`。 - 遍历重量范围 $ j $ 从 `weight[i]` 到最大重量 $ f-e $,更新 `ans[j]` 的值: $$ ans[j] = \min(ans[j], ans[j - weight[i]] + value[i]) $$ 3. **最终结果**: - 如果 `ans[f-e]` 仍为 `inf`,说明无法恰好填满存钱罐;否则输出最小价值。 #### 示例代码 以下是该问题的完整解法代码实现: ```cpp #include <stdio.h> #include <string.h> #include <algorithm> using namespace std; #define inf 0x7fffff int value[508], weight[508], ans[10050]; int main() { int n; scanf("%d", &n); while (n--) { int e, f, t; scanf("%d%d%d", &e, &f, &t); for (int i = 0; i <= f; i++) { ans[i] = inf; } for (int i = 0; i < t; i++) { scanf("%d%d", &value[i], &weight[i]); } ans[0] = 0; for (int i = 0; i < t; i++) { for (int j = weight[i]; j <= f - e; j++) { ans[j] = min(ans[j], ans[j - weight[i]] + value[i]); } } if (ans[f - e] == inf) { printf("This is impossible.\n"); } else { printf("The minimum amount of money in the piggy-bank is %d.\n", ans[f - e]); } } } ``` #### 代码解析 - **初始化**:`ans` 数组初始化为一个极大值 `inf`,表示无法达到的状态。 - **输入处理**:循环读取多组测试数据,每组数据包括空重量 $ e $、满重量 $ f $ 和硬币种类数 $ t $。 - **动态规划处理**:通过两层循环遍历硬币和重量,更新动态规划数组。 - **结果判断**:根据 `ans[f-e]` 是否为 `inf` 判断是否可以填满存钱罐。 ### 算法复杂度 - **时间复杂度**:$ O(T \cdot W) $,其中 $ T $ 是硬币种类数,$ W $ 是目标重量 $ f-e $。 - **空间复杂度**:$ O(W) $,仅使用一维数组存储状态。 ### 相关问题 1. 如何将完全背包问题转换为动态规划解法? 2. 在动态规划中如何处理最小值问题? 3. 如何优化完全背包问题的空间复杂度? 4. 什么是完全背包问题与0-1背包问题的区别? 5. 如何处理无法达到目标状态的情况?
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