算法知识-最大公约数

1、约数：

1.1 试除法求约数

原理：只需要遍历最小的约数即可，较大的那个可以直接算出来。

import java.util.*;
public class Main {

    static Scanner sc = new Scanner(System.in);
    public static void main(String[] args) {
        int t = sc.nextInt();
        while(t-- > 0){
            solution();
            System.out.println();
        }
    }

    public static void solution(){
        int n = sc.nextInt();
        Set<Integer> set = new TreeSet<>(Integer::compare);
        for(int i = 1;i <= n / i;i++) {
            if(n % i == 0) {
                set.add(i);
                set.add(n / i);
            }
        }
        set.forEach((l)-> System.out.print(l + " "));
    }
}

1.2 求约数的个数

原理：

任何一个数 x 都可以写成为：x = q₁^a1 + q₂^a2 + … + q_n^ak

因此：约数个数的公式为：

count = (a₁ + 1) × (a₂ + 1) × … × (a_k + 1)

同理：约数的和的公式为：

sum = (q₁⁰ + q₁¹ + q₁² + … + q₁^a1) × (q₂⁰+ q₂¹ + q₂² + … + q₂^a2) × … × (q_n⁰ + q_n¹ + … + q_n^ak)

例如：12 = 2² + 3¹

约数个数为：(2 + 1)× (1 + 1) = 2 × 3 = 6

验证：12 的约数有 1、2、3、4、6、12 一共 六 个

约数和为：(2⁰ + 2¹ + 2²) × (3⁰ + 3¹) = 28

验证：1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28

import java.util.*;

public class Main{

    static int N = (int) (1e9+7);
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        // 利用hash表存储这个数的因数以及指数 x = q1a1 + q2a2 + ... + qnak 
        Map<Integer,Integer> map = new HashMap<>();
        int n = sc.nextInt();
        while(n-- > 0) {
            int x = sc.nextInt();
            for(int i = 2;i <= x / i;i++) {
                while(x % i == 0) {
                    x /= i;
                    map.put(i,map.getOrDefault(i,0)+1);
                }
            }
            if(x > 1) // 如果 x > 1，表示这个数没有被除进，直接将这个数放进去就好
                map.put(x,map.getOrDefault(x,0)+1);
        }

        long res = 1;
        // 这些乘积的结果的 约数的个数为 指数 + 1的乘积
        Set<Map.Entry<Integer, Integer>> entries = map.entrySet();
        for(Map.Entry<Integer, Integer> e : entries) {
            res = res * (e.getValue() + 1) % N;
        }
        System.out.println(res);
    }
}

import java.util.*;

public class Main{

    static int N = (int) (1e9+7);
    public static void main(String[] args){
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        // 利用hash表存储这个数的因数以及指数
        Map<Integer,Integer> map = new HashMap<>();
        int n = sc.nextInt();
        while(n-- > 0) {
            int x = sc.nextInt();
            for(int i = 2;i <= x / i;i++) {
                while(x % i == 0) {
                    x /= i;
                    map.put(i,map.getOrDefault(i,0)+1);
                }
            }
            if(x > 1) // 如果 x > 1，表示这个数没有被除进，直接将这个数放进去就好
                map.put(x,map.getOrDefault(x,0)+1);
        }

        long res = 1;
        // 这些乘积的结果的 约数的个数为 指数 + 1的乘积
        Set<Map.Entry<Integer, Integer>> entries = map.entrySet();
        for(Map.Entry<Integer, Integer> e : entries) {
            long t = 1;
            int p = e.getKey();
            int a = e.getValue();
            // 这里就是算(q1^0 + q2^1 + q3^2 + ... + qn^a1)
            while(a -- > 0)  t = (t * p + 1) % N;
            res = res * t % N;
        }
        System.out.println(res);
    }
}

1.3 最大公因数（最大公约数）

原理：根据 (a,b) = (a,R) ===> 表示，a 和 b的共因数等于a和a % b的公因数

import java.util.*;
public class Main{
    public static void main(String[] args) {
        Scanner sc = new Scanner(System.in);
        int n = sc.nextInt();
        while(n-- > 0) {
            int a = sc.nextInt();
            int b = sc.nextInt();
            System.out.println(gcd(a,b));
        }
    }
    
    static int gcd(int a,int b) {
        // 关键点：
        // 如果 a > b 那末就是想要的，b a换位，并且用小的取余大的
        // 如果 a < b 那末，由于 a%b=a 因此，相当于换位，值不变
        return b == 0 ? a : gcd(b,a%b);
    }
}