AtCoder arc145. B - AB Game题解

题目描述

一共有 $n$ 个石子，每次 $Alice$ 可以拿 $A$ 的倍数个石子，$Bob$ 可以拿 $B$ 的倍数个石子
求从 N $\in$ $[1,n]$ 每一轮中 $Alice$ 赢的次数

输入样例

27182818284 59045 23356

输出样例

10752495144

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算法

(思维题) $O(1)$

分类讨论
1. 如果 $n<a$ ，那么无论如何 $Alice$ 都不可能赢，输出 $0$ 即可
2. 如果 $n\ge a$
(1) 如果 $a\le b$
那么第一次 $Alice$ 直接拿 $p\ast a$ 个石子，其中 $p = {\lfloor n/a \rfloor} $
剩下的石子 $left=n\mathrm{mod}a$，此时 $left<b$，所以剩下的情况 $Bob$ 不可能赢都是 $Alice$ 赢
$Alice$ 输的情况只有 $n\in [1,a-1]$ 一共 $a$ 次，那么$Alice$ 可以赢 $n-a-1$次
(2) 如果 $a>b$
同样的第一次 $Alice$ 直接拿 $p\ast a$ 个石子，其中 $p = {\lfloor n/a \rfloor} $
剩下的石子 $left=n\mathrm{mod}a$
如果 $left<b$，那么 $Alice$ 还可以赢的区间为 $[p\ast a,p\ast a+b)$ ，一共 $b$ 次
此时 $p\in [2,\lfloor n/a\rfloor ]$ 一共 $\lfloor n/a\rfloor -1$ 次
为什么 $p$ 要从 $2$ 开始？
因为在第一个 $a$ 区间内，也就是 $[1,a-1]$ $Alice$ 是输的，所以需要把这一段给减去
此时 $Alice$ 可以获胜 $(\lfloor n/a\rfloor -1)\ast b$ 次
接下来看最后一段 $left$ 个石子
如果 $left\ge b$，那么 $Alice$ 还可以获胜的区间为 $left\in [0,b-1]$ 一共 $b$ 次，那么获胜的总次数就为 $(\lfloor n/a\rfloor -1)\ast b+b$ 次，也可以写为$\lfloor n/a\rfloor \ast b$ 次
如果 $left<b$，那么 $Alice$ 还可以获胜的区间为 $left\in [0,n\mathrm{mod}a]$ ，一共 $n\mathrm{mod}a+1$次，那么获胜的总次数为 $(\lfloor n/a\rfloor -1)\ast b+n\mathrm{mod}a+1$ 次

C++ 代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<unordered_map>
#include<unordered_set>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
#include<stack>
#include<vector>
#include<deque>
#include<cmath>
#include<ctime>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main()
{
	ll n,a,b;
	cin>>n>>a>>b;
	if(n<a) puts("0");
	else
	{
		if(b>=a)
		{
			cout<<(n-a+1)<<endl;
		}
		else
		{
			ll res=(n/a-1)*b;
			if(n%a>=b) res+=b;
			else res+=n%a+1;
			cout<<res<<endl;
		}
	}
}