推导正交投影变换

-潘宏

-2009.4.20 

-本人水平有限，疏忽错误在所难免，还请各位数学高手、编程高手不吝赐教

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    之前我们在《深入探索透视投影变换》以及《深入探索透视投影变换（续）》中研究了OpenGL、D3D以及M3G的透视投影变换的原理以及生成方法。这些方法在当前的主流图形API中得到了普遍使用。但关于投影应用，还有一类经常使用的投影方式需要我们深入理解——正交投影，我们在本篇文章里面研究它（这里假设读者已经看过前两篇文章，并理解了绝大多数的理论，因为正交投影比透视投影的推导关系简单得多，因此我们的推导会非常得快，如果读者有任何的不解，请参考前两篇文章或者通过email联系我）。

在具体研究之前我觉得有必要把平面投影的分类简单介绍一下，目的是为了让大家有一个总体的认识，从而更好的理解这个知识体系。请看下图：

 

      

平面投影分为平行投影和透视投影两种类型，后者我们在前两篇文章中介绍了。平行投影则是具有矩形观察体的投影方式（透视投影则是视锥观察体），它不会根据物体离视点的远近缩放物体（透视投影则会）。平行投影可以分成侧投影和正交投影两种类型。这两种类型如何区分呢？我们继续看图吧：

上图中，v是投影平面，n是它的法线。p和q是平面外两点，p’和q’分别是它们在平面上的投影点。q的投影方向向量为Q = 单位化（q’-q），而p的投影方向向量为P = 单位化（p’-p），其中Q不平行于n而P平行于n，则q的投影叫做侧投影，而p的投影叫做正交投影。正交投影是我们今天的研究对象。

实际上上面对平面投影的分类还可以继续向下细分，比如透视投影可以分为一灭点、二灭点以及三灭点透视投影。侧投影则可以继续分为散点侧投、斜二轴侧投等等。而正交投影则可以分成轴侧投影以及多视点正交投影等等。如果读者对此感兴趣，可以参考相关的图形学教程。

接下来我们研究正交投影。分别介绍OpenGL、D3D以及M3G的。我们的环境约定（左右手坐标系、行列向量乘法、CVV范围）仍然尊重相应API自己的设置。

OpenGL正交投影变换

    下图是OpenGL的右手坐标系中观察空间的情形，我们看到的是正交投影的矩形观察体，原点是相机位置，n是近裁剪平面到相机平面的距离，f是远裁剪平面到相机平面的距离。p是观察体中的一个点，p’是它投影之后的点。

投影之后我们有关系：

因为是正交投影，没有统一的投影射线目标点，因此投影之后的x和y不会变，而z则永远地变成了-n，跑到了投影平面上（我们让投影平面和近裁剪平面重合），它已经没用了，则我们用这个没用的信息保存z（为了之后片元操作的时候用），写为：

从而在z方向上构建 CVV，使得当z在近裁剪平面的时候，az+b=-1，而z在远裁剪平面的时候az+b=1（OpenGL的CVV的z范围是[-1,1]，我已经说了三遍了，如果读者感到迷惑不解，强烈建议把前两篇文章理解）。我们算出a和b

然后我们就通过当前的结果反推正交投影矩阵版本一

 

 

接着把x和y建立成CVV情形（简单的线性插值）

 

 

反推正交投影矩阵版本二（最终版本）

 

 

 

则右边的那个矩阵就是OpenGL的正交投影矩阵，它可以通过glOrtho创建出来。如果你读过并理解了之前两篇文章，你会觉得我的推导越来越简洁利落了：）OpenGL的解决了，下面是D3D的。

D3D正交投影变换

    下图是D3D左手坐标系中观察空间的情形。因为是左手坐标系，因此近裁剪平面在z = n平面，而远裁剪平面在z = f平面。

 

投影之后，有                                                                                                    

 

用第三个没用的信息保存z，写为

 

使得（D3D的CVV的z范围是[0, 1]）

反推正交投影矩阵版本一

对x和y进行CVV线性插值

 

 

分两种情况讨论（如果读者对此不清楚，请参考第二篇文章《深入探索透视投影变换（续）》）：

（1）       投影平面居中，销掉两边的1/2，然后反推正交投影矩阵

 

 

后面那个矩阵就是相应正交投影矩阵，这个也是D3DXMatrixOrthoLH方法所使用的情况。

 

（2）       一般情况，投影平面不一定居中，直接通过投影结果反推正交投影矩阵

 

 

后面那个矩阵就是相应的正交投影矩阵，这个也是D3DXMatrixOrthoOffCenterLH方法所使用的情况。好了，D3D的也介绍完毕，接下来是M3G的。

 

M3G正交投影变换

M3G是对OpenGL的封装，因此环境和OpenGL的相同，我们从对x和y的插值来看

 

 

M3G只使用居中的投影平面，因此可以销掉两边的1/2，得到

 

 

接着反推出正交投影矩阵

 

 

最后那个矩阵就是M3G的正交投影矩阵，也就是Camera.setParallel所使用的形式。

结束语

以上介绍了三个API所使用的正交投影矩阵的生成方法，三者的正交投影矩阵依然可以通过视野（FOV）以及投影平面的宽高比（Aspect Ratio）来设置，这里请读者自行推导，可以参考第二篇文章《深入探索透视投影变换（续）》。

正交投影矩阵和透视投影矩阵一样可以有无穷多个，但原理相同，不同的只是环境。目前正交投影在3D引擎中有着和透视投影同样的地位，它至少是3D用户界面系统的基础。因此，有必要清晰地理解正交投影矩阵和透视投影矩阵的原理，如此才能够真正创建、修改、使用好图形引擎。