87、机器学习中的重要概念与方法解析-优快云博客

机器学习中的重要概念与方法解析

1. 推荐阅读资料概述

在机器学习领域，有众多有价值的研究文献。例如 Boyan JA 在 1999 年提出的最小二乘时间差分学习；Bradtke SJ 和 Barto AG 于 1996 年研究的用于时间差分学习的线性最小二乘算法；Ernst D 等人在 2005 年探讨的基于树的批量模式强化学习等。这些研究为机器学习的不同方向提供了理论基础和实践方法。

2. 留一法交叉验证

定义：留一法交叉验证是交叉验证的一种特殊情况，其中折叠数等于数据集中实例的数量。对于数据集中的每个实例，学习算法都会运行一次，将除该实例之外的所有其他实例用作训练集，而将所选实例用作单项目测试集。这一过程与统计中的刀切法估计密切相关。
相关阅读 ：Efron B 在 1982 年的著作《The Jackknife, the bootstrap and other resampling plans》对这方面有深入探讨。

3. 留一法误差

同义词 ：留一法误差也被称为留一测试误差、LOO 误差。
定义：留一法误差是通过留一法交叉验证获得的误差估计。

4. 提升度

提升度是衡量分类规则相对效用的指标。其计算公式为：
[lift(x \rightarrow y) = \frac{P(Y = y|X = x)}{P(Y = y)}]
在实际应用中，概率通常从训练数据或测试数据中估计得出，此时公式变为：
[lift(x \rightarrow y) = \frac{F(Y = y|X = x)}{F(Y = y)}]
其中，(F(Y = y|X = x)) 是在规则前件的上下文中，后件在数据中出现的频率，(F(Y = y)) 是后件在数据中的频率。

5. 线性判别分析

定义：判别函数是一个接收输入变量 (x) 并输出其类别标签 (y) 的函数。线性判别则使用输入变量的线性函数，更一般地，使用输入变量的某个向量函数 (f(x)) 的线性函数。这里主要关注 Fisher 线性判别，它通过将输入变量投影到低维空间，同时保持类别可分离性。
动机与背景 ：在模式识别问题中，维度诅咒是一个持续存在的问题。低维空间中计算可行的技术在高维空间可能变得完全不切实际。因此，人们提出了各种方法来降低输入或特征空间的维度，以获得更易于处理的问题。Fisher 线性判别分析的目标就是找到一个好的投影，使投影后的样本能够良好分离。
两类问题的 Fisher 判别
- 给定 (N) 个观测训练数据点 ({(x_i, y_i)}_{i = 1}^{N})，其中 (y_i \in {1, \cdots, c}) 是输入变量 (x_i \in R^d) 的标签。线性判别寻求将 (d) 维输入投影到 (w \in R^d) 方向的直线上，使得 (f(x) = w^T x)。
- 对于两类问题，设类别 1 和类别 2 分别有 (N_1) 和 (N_2) 个数据点，每类的 (d) 维样本均值分别为：
  [
  \begin{align }
  \mu_1 &= \frac{1}{N_1} \sum_{i \in \Omega_1} x_i\
  \mu_2 &= \frac{1}{N_2} \sum_{i \in \Omega_2} x_i
  \end{align }
  ]
- 最简单的类别可分离性准则是投影类均值的分离，即找到权重向量 (w) 最大化 (m_2 - m_1 = w^T (\mu_2 - \mu_1))，同时需要对 (w) 施加单位长度约束。但当数据具有不同的类别协方差时，这种投影可能不是最优的。
- Fisher 准则通过最大化投影类均值之间的分离，同时最小化每个类内的方差来实现。该准则可以表示为：
  [J(w) = \frac{w^T S_B w}{w^T S_W w}]
  其中，总类内协方差矩阵 (S_W) 和类间协方差矩阵 (S_B) 的计算公式分别为：
  [
  \begin{align }
  S_W &= \sum_{i \in \Omega_1} (x_i - \mu_1)(x_i - \mu_1)^T + \sum_{i \in \Omega_2} (x_i - \mu_2)(x_i - \mu_2)^T\
  S_B &= (\mu_2 - \mu_1)(\mu_2 - \mu_1)^T
  \end{align }
  ]
  通过令 (J(w)) 关于权重向量的一阶导数为零，可以得到最大化 (J(w)) 的 (w) 的解为 (w = S_W^{-1} (\mu_2 - \mu_1))。

以下是 Fisher 线性判别分析的流程 mermaid 图：

graph LR
    A[输入训练数据] --> B[计算每类样本均值]
    B --> C[计算类内协方差矩阵 \(S_W\) 和类间协方差矩阵 \(S_B\)]
    C --> D[根据 Fisher 准则构建目标函数 \(J(w)\)]
    D --> E[求解最大化 \(J(w)\) 的权重向量 \(w\)]
    E --> F[进行投影和分类]

多类问题的 Fisher 判别 ：对于一般的 (c) 类问题，需要将 (d) 维空间投影到 ((c - 1)) 维空间，通过 (c - 1) 个线性判别函数实现。优化准则为 (J(w) = Trace((W^T S_W W)^{-1}(W^T S_B W)))，其最大化者是 (S_W^{-1} S_B) 与 (c - 1) 个最大特征值相关联的特征向量。

6. 线性回归

定义：线性回归是回归问题的一个实例，用于建模输入变量 (x) 和输出/响应变量 (y) 之间的函数关系。通常使用输入变量的线性函数，更一般地，也可以使用输入变量的某个向量函数 (\phi(x)) 的线性函数。该线性函数用于估计 (y) 的均值（或更一般地，中位数或分位数）。
动机与背景 ：给定一组从潜在但未知分布中采样的数据点，每个数据点包含输入 (x) 和输出 (y)。回归的任务是从观察到的、可能有噪声的数据点中学习 (x) 和 (y) 之间的隐藏函数关系，用 (f(x)) 近似 (y)。将函数 (f(\cdot)) 设为线性是一种常见的方法，由于线性特性，优化过程通常更容易。
理论与解决方案 ：在回归问题中，我们希望从 (N) 个观测训练数据点 ({(x_i, y_i)} {i = 1}^{N}) 中恢复函数依赖关系 (y_i = f(x_i) + \epsilon_i)。对于线性参数技术，我们通过参数 (w \in R^H) 对潜在回归函数 (f(\cdot)) 进行参数化，即 (f(x_i) = \langle \phi(x_i), w \rangle)，其中 ({\phi_h(x_i)} {h = 1}^{H}) 是 (H) 个固定基函数。
最小二乘法
- 设 (X \in R^{N \times d}) 是输入变量矩阵，(y \in R^{N}) 是输出变量向量。最小二乘法通过最小化以下平方误差和来推断权重向量 (w)：
  [E(w) = (Xw - y)^T (Xw - y)]
- 令误差函数关于权重向量的一阶导数为零，可得到最优权重向量 (w^ ) 的解为 (w^ = (X^T X)^{-1} X^T y)。其中，((X^T X)^{-1} X^T) 被称为矩阵 (X) 的 Moore - Penrose 伪逆。
- 在独立且正态分布的噪声项 (\epsilon_i \sim N(0, \sigma^2)) 假设下，最小二乘法等价于最大似然解。
最小二乘法的几何解释 ：在 (N) 维空间中，每个基函数在 (N) 个输入位置上的评估可以表示为一个向量。线性预测模型 (\Phi w) 是这些向量的任意线性组合。最小二乘法的解对应于将 (y) 正交投影到由基函数向量形成的线性子空间上，这与平方欧几里得距离的最小值相关。

以下是最小二乘法求解权重向量的步骤列表：
1. 输入训练数据 (X) 和 (y)。
2. 计算 (X^T X)。
3. 求 (X^T X) 的逆矩阵（可使用奇异值分解处理数值问题）。
4. 计算 ((X^T X)^{-1} X^T)。
5. 计算权重向量 (w^* = (X^T X)^{-1} X^T y)。

实际注意事项 ：计算 (w^*) 需要对矩阵 (X^T X) 进行求逆操作，当两个或多个基向量或输入维度近乎共线时，直接求逆可能会导致数值困难。可以使用奇异值分解来解决这个问题，同时添加正则化项可以确保矩阵的非奇异性。
最小二乘法的顺序学习 ：计算最优权重向量 (w^*) 需要使用整个训练集，这属于批量算法。对于大规模数据集，批量算法可能计算成本过高。可以使用随机梯度下降的顺序算法，如最小均方（LMS）算法：
[w_{t + 1} = w_t - 2\eta (\langle x_i, w_t \rangle - y_i)x_i]
其中，(t) 表示迭代次数，(\eta) 表示学习率，需要谨慎选择学习率以确保算法收敛。
正则化/惩罚最小二乘法 ：为了解决过拟合问题，通常在目标函数中引入正则化或惩罚项，正则化目标函数形式为：
[E_{reg} = E(w) + \lambda R(w)]
其中，(E(w)) 衡量解在观测数据点上的质量，(R(w)) 对复杂解进行惩罚，(\lambda) 是正则化参数，控制两者之间的相对重要性。
- 岭回归 ：正则化项为 (R(w) = \sum_{d = 1}^{D} w_d^2)，正则化后的目标函数仍然是关于 (w) 的二次函数，最优解可以通过闭式形式得到：
  [w^* = (X^T X + \lambda I)^{-1} X^T y]
- 套索回归 ：正则化项为 (R(w) = \sum_{d = 1}^{D} |w_d|)。与岭回归不同，套索回归没有闭式解，通常需要使用二次规划或坐标下降算法来求解。套索回归会使权重向量 (w) 变得稀疏，即只有一部分 (w) 是非零的，从而忽略无关的基函数。

以下是线性回归不同方法的对比表格：
| 方法 | 优点 | 缺点 | 适用场景 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 最小二乘法 | 有闭式解，计算相对简单 | 可能过拟合，对共线问题敏感 | 数据维度较低且无明显共线问题 |
| 岭回归 | 可缓解过拟合，保证矩阵非奇异 | 无法使权重为零 | 存在一定过拟合风险的情况 |
| 套索回归 | 可实现特征选择，使权重稀疏 | 无闭式解，计算复杂 | 需要进行特征选择的场景 |

7. 不同方法的综合对比与应用场景分析

为了更清晰地理解上述各种机器学习方法的特点和适用场景，我们对线性判别分析和线性回归的不同变体进行综合对比。

方法	核心思想	优点	缺点	适用场景
Fisher 线性判别（两类问题）	通过投影最大化类间分离，最小化类内方差	能有效降低维度，提高分类可分性	对数据分布有一定要求，当数据分布复杂时效果可能不佳	数据维度较高，且类别可通过线性投影分离的两类问题
Fisher 线性判别（多类问题）	将高维空间投影到低维空间，通过多个线性判别函数实现分类	可处理多类问题，降低维度	计算复杂度相对较高	多类分类问题，且希望降低数据维度
最小二乘法线性回归	最小化平方误差和来估计权重	有闭式解，计算相对简单	可能过拟合，对共线问题敏感	数据维度较低且无明显共线问题的回归任务
岭回归	在最小二乘法基础上添加二次正则化项	可缓解过拟合，保证矩阵非奇异	无法使权重为零	存在一定过拟合风险的回归任务
套索回归	在最小二乘法基础上添加绝对值正则化项	可实现特征选择，使权重稀疏	无闭式解，计算复杂	需要进行特征选择的回归任务

从这个表格中可以看出，不同方法在核心思想、优缺点和适用场景上都有明显差异。在实际应用中，需要根据具体的数据特点和问题需求来选择合适的方法。

8. 方法选择的决策流程

在面对具体的机器学习问题时，如何选择合适的方法是一个关键问题。以下是一个基于数据特征和问题类型的方法选择决策流程 mermaid 图：

graph LR
    A[问题类型] --> B{分类问题?}
    B -- 是 --> C{类别数量}
    C -- 两类 --> D[Fisher 线性判别（两类问题）]
    C -- 多类 --> E[Fisher 线性判别（多类问题）]
    B -- 否 --> F{回归问题?}
    F -- 是 --> G{数据维度和共线性}
    G -- 低维且无共线 --> H[最小二乘法线性回归]
    G -- 有过拟合风险 --> I[岭回归]
    G -- 需要特征选择 --> J[套索回归]

这个决策流程可以帮助我们在面对不同类型的问题时，快速筛选出合适的机器学习方法。首先判断问题是分类问题还是回归问题，如果是分类问题，再根据类别数量选择合适的 Fisher 线性判别方法；如果是回归问题，则根据数据的维度和共线性情况选择不同的线性回归方法。