14、离散对数计算算法解析

离散对数计算算法解析

1. 引言

离散对数问题在群密码学中具有重要地位。本文将介绍几种离散对数计算算法，包括生日攻击算法、Pollard rho算法以及中国剩余定理在离散对数计算中的应用。这些算法在不同场景下有着各自的特点和优势，对于理解和解决离散对数问题具有重要意义。

2. 生日攻击算法

生日攻击算法的名称来源于生日问题。其基本思想是通过不断随机计算 (x g^i) 和 (g^j)，直到出现碰撞 (x g^i = g^j)，此时就可以计算出离散对数 (dlog_g x = j - i)（在 (Z_d) 中）。

2.1 算法步骤

• 输入 ：一个具有 (d) 个元素的循环群 (G = \langle g \rangle)，以及群元素 (x \in G)。
• 输出 ：(dlog_g x)。
  1. 初始化 (X, Y \leftarrow \varnothing)。
  2. 重复步骤 3，直到 (X) 和 (Y) 出现碰撞。
  3. 随机均匀选择一个比特 (b \leftarrow {0, 1}) 和 (i \leftarrow {0, \ldots, d - 1})。如果 (b = 0)，将 (x g^i) 添加到 (X) 中；如果 (b = 1)，将 (g^i) 添加到 (Y) 中，并记录索引 (i)。
  4. 如果对于某些 (x g^i \in X) 和 (g^j \in Y)，有 (x g^i = g^j)，则返回 (j - i)（在 (Z_d) 中）。