葫芦娃解救爷爷成功概率分析-优快云博客

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问题：
假设7个葫芦娃，每个葫芦娃解救成功概率为7分之1 。爷爷第一天存活的概率为1 ，第二天为6分之5 ，以此类推，第6天存活概率为6分之1，第7天存活概率为0。葫芦娃每天出生一个，可以每天去一个，也可以某一天不去等接下来多个葫芦娃出生后一起去解救（其中N个葫芦娃解救成功的概率为7分之N)，解决成功的前提是爷爷还存活着。请问有多少种策略，每个策略解救爷爷的概率是多少？再加一个前提条件，如果葫芦娃解救不成功，葫芦娃自身也不会存活

剧透一下：最大解救成功的概率是出生一个马上去解救

问题分析：
这个问题的核心是找出所有可能的策略，并计算每种策略下爷爷获救的概率。可以总结如下规则：

每天的情况：
- 每天有一个新的葫芦娃出生，可以选择当天去解救，也可以选择等待更多的葫芦娃一同去解救。
- 如果在某天解救行动失败，参与的所有葫芦娃都会失去行动能力，无法再尝试。
爷爷存活的概率：
- 第1天存活的概率是1，第2天是 $\ ( \frac{5}{6} )，第3天是 ( \frac{4}{6} )，...，第7天是0。\$
解救概率：
- 如果N个葫芦娃一起行动，解救成功的概率是 $\ ( \frac{N}{7} )。\$
- 解救必须在爷爷还存活的情况下进行。

为了解这个问题，我们可以使用动态规划（DP）的方式来计算所有策略的解救概率。

计划：

状态表示：用f(day, n)表示在第day天之前，有n个葫芦娃还未行动的情况下，解救爷爷的最大概率。
转移方程：对于第day天，如果选择不行动，则概率转移到第day + 1天。如果选择用k个葫芦娃进行行动，成功的概率是(k/7) * 爷爷存活概率，不成功的概率是(1 - k/7)。

用Python代码实现：

def calc_survival_prob(day):
    """计算爷爷在第day天存活的概率"""
    if day == 1:
        return 1.0
    return (7 - day) / 6

def solve():
    max_prob = 0
    best_strategy = None

    # 使用位操作来表示 7 天内的每种策略
    for i in range(1 << 6):
        current_strategy = []
        num_wait = 0
        prob = 1
        strategy = []

        for day in range(6):
            # 如果第day天采取行动
            if i & (1 << day):
                num_wait += 1
                # 计算爷爷在当天存活的概率
                survival_prob = calc_survival_prob(day + 1)

                # 解救成功概率
                success_prob = num_wait / 7
                fail_prob = 1 - success_prob

                # 计算整体成功解救的概率
                prob *= success_prob * survival_prob

                # 如果解救失败，直接跳过剩余计算
                if fail_prob == 1:
                    break

                # 保存当前的策略 (第day天派出 num_wait 个葫芦娃)
                strategy.append(f"Day {day + 1}: {num_wait} huluwas")
                num_wait = 0  # 重置等待计数
            else:
                # 如果不行动，累积等待的葫芦娃
                num_wait += 1

        # 如果等到第 7 天结束，仍未采取行动，则将最后等待的葫芦娃全部派出
        if num_wait > 0 and calc_survival_prob(7) > 0:
            prob *= (num_wait / 7) * calc_survival_prob(7)
            strategy.append(f"Day 7: {num_wait} huluwas")

        # 更新最佳策略
        if prob > max_prob:
            max_prob = prob
            best_strategy = strategy

    return best_strategy, max_prob

# 输出结果
best_strategy, max_prob = solve()
print(f"Best Strategy: {best_strategy}")
print(f"Maximum Success Probability: {max_prob}")