2.NOIP模拟赛试题详讲

最新推荐文章于 2022-10-16 00:14:46 发布

pigonered

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分类专栏：比赛详解文章标签：算法 c语言 c++ 数据结构图搜索算法

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/pigonered/article/details/120814348

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本文详细讲解了NOIP模拟赛中的三道题目，涉及棋子移动策略、01串翻转最小代价和图论问题。通过案例分析，解释了如何运用全排列、差分思想和最短路径算法解决这些问题，并提供了部分代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

A

题目描述:数轴上有n个棋子, 第i 个棋子初始在ai.你会不断对棋子进行操作, 每次操作是选择一个棋子, 假设它的坐标是x, 则可以把它移动到x−1或x−2, 但要求移动后的位置原先没有棋子.如果一个棋子的坐标变得小于等于0, 则称它挂掉了. 你需要求出有多少个排列p使得存在一种方案使得第i 个挂掉的棋子是pi. 答案对10⁹+ 7取模.

解析
1.假如两个棋子位于101,103,和两个棋子位于1,3是没有区别的，可以101先挂掉，也可以以103先挂掉。
2.假如位于2,3,4，那么2，3就会堵住4，所以2,3必须挂掉一个。
3.假如位于1,3,5，那么3个数都可以畅通无阻，排列方式就是全排列 $n!$ (排列数公式)。

我们分析了以上3种情况，那么我们考虑维护一个序列1,3,5,7,…,2i-1,如果a[i]==2i,那么我们要将前面的一个挂掉，序列保持不变，如果a[i]>=2i-1，那么统计方案数。

for(int i=1;i<=n;i++)
{
   
	ans=ans*i%mod;
}

求全排列，直接累乘。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long 

const int mod=1e9+7;
int n,a[100005];

int main()
{
   
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&a[i]);
	ll ans=1;
	vector<int>b(1,1);//表示向量[1]==1
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
   
		if(a[i]!=b.back()+1)//不在2*i的位置
		{
   
			b.push_back(b.back()+2);
		}
		else//在的话，那么挂掉前面的一个，至于哪一个,都可以
		{
   
			ans=ans*(b.size()+1)%mod;
		}
	}
	for(int i=1;i<=b.size();i++)
	{
   
		ans=ans*i%mod;
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}

B

题目描述:有一个长度为a+b+c+d+e的01串, 它由a个1, b个0, c个1, d个0, e个1拼接起来组成.有m个区间[li,ri]. 你可以进行若干次操作, 每次操作选择一个区间[li,ri] 并将[li,ri] 取反, 花费的代价为ri −li+ 1.求将这个串变成全1串的最小代价. 无解输出−1.

解析
它是有5个区间组成，要将所有01串的都翻转太复杂了，不妨差分的思想，表示该位置和下一个位置的数字是否相同，相同为0，不同为1。例如a,b,c,d,e分别等于1,2,3,4,5。即100111000011111，差分后为101001000100000,对应了下标a,a+b,a+b+c,a+b+c+d。
重点： 如果我们要全部为1，即把差分的变成000000000000…，所以要让差分01串中的第1到第2的最短+第3到第4的最短，或者第1到第3+第2到第4，或者第1到第4+第2到第3,咦?这不就有点像最短路问题了吗，那就用这个思路，将这4个1作为点，每个取反的区间[l,r]为边，表示从l-1到r边权为r-l+1的边，来建立无向图，跑3遍dijstrar就解决了问题。
所以问题就转换到图上了 ~~(太妙了)~~

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define num ch-'0'
void get(int &res)
{
   
    char ch;bool flag=0;
    while(!isdigit(ch=getchar()))
        (ch=='-')&&(flag=true);
    for(res=num;isdigit(ch=getchar

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