codeforces 55D Beautiful numbers（数位dp）-优快云博客

Beautiful numbers

题目链接：

http://codeforces.com/problemset/problem/55/D

解题思路：

题目大意：

求区间[x , y]中beautiful number的个数，a positive integer number is beautiful if and only if it is divisible by each of its nonzero digits.

算法思想：

一个数能被它的所有非零数位整除，则它一定能被它们的最小公倍数整除，而1到9的最小公倍数为2520，所以数位dp时我们只需保存前面那些位的最小公倍数就可进行状态转移即可，到边界时就把所有位的lcm求出了。为了判断这个数能否被它的所有数位整除，我们还需要这个数的值，显然要记录值是不可能的，其实我们只需记录它对2520的模即可，这样我们就可以设计出如下数位dp：dfs(pos,premod,prelcm,f),pos为当前位，premod为前面那些位对2520的模，prelcm为前面那些数位的最小公倍数，f标记前面那些位是否达到上限，这样一来dp数组就要开到19*2520*2520，明显超内存了，考虑到最小公倍数是离散的，1-2520中可能是最小公倍数的其实只有48个，经过离散化处理后，dp数组的最后一维可以降到48，这样就不会超了。

AC代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn = 20;
const int MOD = 2520;
ll dp[maxn][MOD][50];
int digit[maxn],index[MOD+5];

int GCD(int a,int b){
    if(b == 0)
        return a;
    return GCD(b,a%b);
}

int LCM(int a,int b){
    return a/GCD(a,b)*b;
}

ll dfs(int pos,int premod,int prelcm,bool edge){
    if(pos == -1)
        return (premod%prelcm) == 0;
    if(!edge && dp[pos][premod][index[prelcm]] != -1)
        return dp[pos][premod][index[prelcm]];
    int tmp = edge?digit[pos]:9;
    ll ans = 0;
    for(int i = 0; i <= tmp; i++){
        int nowlcm = prelcm;
        int nowmod = (premod*10 + i)%MOD;
        if(i)
            nowlcm = LCM(prelcm, i);
        ans += dfs(pos - 1, nowmod, nowlcm, edge && i == tmp);
     }
     if(!edge)
            dp[pos][premod][index[prelcm]] = ans;
     return ans;
}

ll cal(ll x){
    int pos = 0;
    while(x){
        digit[pos++] = x%10;
        x /= 10;
    }
    return dfs(pos-1,0,1,1);
}

void init(){
    int cnt = 0;
    memset(dp,-1,sizeof(dp));
    for(int i = 1; i <= MOD; i++){
        if(MOD%i == 0)
            index[i] = cnt++;
    }
}
int main(){
    init();
    int T;
    scanf("%d",T);
    while(T--){
        ll l,r;
        scanf("%I64d%I64d",&l,&r);
        printf("%I64d\n",cal(r)-cal(l-1));
    }
    return 0;
}