hdu 5411 CRB and Puzzle（矩阵快速幂）

最新推荐文章于 2019-07-09 12:53:00 发布

原创最新推荐文章于 2019-07-09 12:53:00 发布 · 733 阅读

0 ·

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：

#矩阵快速幂

--------------数论-------------- 专栏收录该内容

39 篇文章

订阅专栏

本文介绍了HDU 5411问题的解题思路和算法实现，包括使用矩阵快速幂计算路径计数。详细解释了如何通过构建特定矩阵并进行幂运算来解决路径长度不超过M的问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目链接：

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5411

解题思路：

题目大意：

给定n个点常数m

下面n行第i行第一个数字表示i点的出边数，后面给出这些出边。

问：图里存在多少条路径使得路径长度<=m，路径上的点可以重复。

官方题解：

We can count the number of different patterns by counting the number of different paths of length at most $M - 1$ .

This can be solved by multiply the following matrix $M - 1$ times.

$D=\begin{pmatrix} & & & 1\ & A& & 1\ & & & M\ 0& \Lambda &0 &1 \end{pmatrix}$

Here, $A$ is adjacency matrix of the given graph.

Then, $Ans\ =\ \sum_{i=1}^{N+1}\sum_{j=1}^{N+1}D^{M-1}[i][j]$

Time complexity: $O(N^{3}\cdot logM)$

算法思想：

首先能得到一个m*n*n的dp，dp[i][j]表示路径长度为i 路径的结尾为j的路径个数。

答案就是sigma(dp[i][j]) for every i from 1 to m, j from 1 to n;

我们先计算路径长度恰好为 i 的方法数。

用矩阵快速幂，会发现是

其中B矩阵是一个n*n的矩阵，也就是输入的邻接矩阵。

A是一个n行1列的矩阵 A[i][1]表示长度为1且以i结尾的路径个数，所以A矩阵是全1矩阵。

相乘得到的n*1 的矩阵求和就是路径长度恰好为i的条数。

那么<=m的路径就是：

把A提出来，里面就是一个关于B的矩阵等比数列。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MOD = 2015;
struct matrix//矩阵
{
    int m[55][55];
    matrix(){
        memset(m,0,sizeof(m));
    }
};
int n,m;

void debug(matrix a){
    for(int i = 1; i <= n+1;i++){
        for(int j = 1; j <= n+1; j++){
            cout<<a.m[i][j];
        }
        cout<<endl;
    }
}

matrix multi(matrix a, matrix b)
{
    matrix tmp;
    for(int i = 0; i < 55; ++i)
    {
        for(int j = 0; j < 55; ++j)
        {
            for(int k = 0; k < 55; ++k)
                tmp.m[i][j] = (tmp.m[i][j] + a.m[i][k] * b.m[k][j]) % MOD;
        }
    }
    return tmp;
}

int fast_mod(matrix ans,matrix base, int m)  // 求矩阵 base 的  n 次幂
{
    while(m)
    {
        if(m & 1)  //实现 ans *= t; 其中要先把 ans赋值给 tmp，然后用 ans = tmp * t
            ans = multi(ans, base);
        base = multi(base, base);
        m >>= 1;
    }
    return ans.m[1][n+1];
}

int main(){
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        matrix ans,base;
        for(int i = 1; i <= n+1; i++)
           base.m[i][n + 1] = 1;
        int x,xx;
        for(int i = 1; i <= n; i++){
            scanf("%d",&x);
            for(int j = 1; j <= x; j++){
                scanf("%d",&xx);
                base.m[i][xx] = 1;
            }
        }
        for(int i = 1; i <= n+1; i++)
            ans.m[1][i] = 1;
        if(m == 1)
            printf("%d\n",n+1);
        else
            printf("%d\n",fast_mod(ans,base,m));
    }
    return 0;
}